人教版数学九年级上册知识梳理与复习（第二十一章21.1~21.2）

一、单项选择题。(每小题3分，共15分)

1．下列所给的方程中，是一元二次方程的有 ()
①5x(x-1)=3；②x²=0；③3x²=x；④x²+2x+=0；⑤(3x²-4)²=5.
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

2．方程(x-3)²=4的根为 ()
A. 5
B. 1
C. 2
D. 5或1

3．方程2x²+3x-8=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 ()
A.
B.
C.
D. 以上答案都不对

4.用公式法解方程4x²+12x+3=0，得 ()
A.
B.
C.
D.

5．如果x₁，x₂是一元二次方程x²-6x-2=0的两个实数根，那么x₁+x₂的值是()
A. -6
B. -2
C. 6
D. 2

*以下为主观题，系统不自动评分，请答题后自行估分。若没有估分，系统按满分计算。

二、填空题。(每小题5分，共30分)—— 请在横线上直接作答

1．已知m是方程x²-x-1=0的一个根，则代数式m²-m的值等于.

估分为分

参考答案

参考答案：

2．方程3x²-8=7x化为一般形式是，a=，b=，c=，方程的根是．

估分为分

参考答案

参考答案：3x²-7x-8=0、3、-7、-8、答案见详解

3. 若(2x+1)(x-2)=0，则x₁=，x₂=．

估分为分

参考答案

参考答案：答案见详解

、2

4. 如果关于x的一元二次方程x²+px+q=0的两根为2和-3，那么x²+px+q可分解因式为．

估分为分

参考答案

参考答案：(x-2)(x+3)

5．关于x的一元二次方程x²-mx+2m=0的一个根为1，则方程的另一根为.

估分为分

参考答案

参考答案：

-2

6．阅读材料：设一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的两根为x₁, x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=，x₁·x₂=．
根据该材料填空：已知x₁, x₂是方程x²+6x+3=0的两实数根，则的值为.

估分为分

参考答案

参考答案：

三、按要求做题。(每小题5分，共75分)

1．如图所示，将一边长为3的正方形两边剪去宽为x的矩形，剩余部分的面积为5，列出关于x的方程．

估分为分

参考答案

参考答案：(3-x)²=5化为x²-6x+4=0

2．把下列方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) (x-5)²=36；
(2) 3y(y+1)=2(y+1)．

估分为分

参考答案

参考答案：(1)x²-10x-11=0；1；-10；-11
(2)3y²+y-2=0；3；1；-2

3．用配方法解下列方程：
(1)x²+4x-4=0； (2)4x²+12x-72=0.

估分为分

参考答案

参考答案：(1) x²+4x=4,
     x²+4x+4=4+4,
(x+2)²=8，
x+2=±2

，
x₁=-2+2

，
x₂=-2-2

；
(2)

4．用配方法证明m²-8m+23的值恒为正．

估分为分

参考答案

参考答案：m²-8m+23=m²-8m+16+7=(m-4)²+7.
∵(m-4)²≥0，
∴(m-4)²+7＞0，即m²-8m+23的值恒为正．

5．已知x²-4x+y²+6y+13=0，求x-y的值．

估分为分

参考答案

参考答案：x²-4x+y²+6y+13=0
  x²-4x+4+y²+6y+9=0
    (x-2)²+(y+3)²=0
∴x-2=0, y+3=0
  x=2, y=-3.
∴x-y=2-(-3)=5.

6．用公式法解下列方程：
(1)x²-4x+10=0；(2) 2x²+2x=1.

估分为分

参考答案

参考答案：(1)解：∵a=1, b=-4

,c=10, b²-4ac=(-4

)²-4×1×10=8＞0,
∴x=

．
∴x₁=

,x₂=

.
(2)解：移项，得2x²+2x-1=0．
∵a=2, b=2, c=-1,即b²-4ac=2²-4×2×(-1)=12＞0,
∴x=

∴x₁=

,x₂=

7. 已知方程x²-ax+2a=0的一个根是3，求a的值和方程的另一个根．

估分为分

参考答案

参考答案：a=9，另一根为6．

8. m为何值时，方程x²-(2m+1)x+m²+5=0有两个相等的实数根？

估分为分

参考答案

参考答案：这里a=1，b=-(2m+1),c=m²+5, b²-4ac=[-(2m+1)]²-4×1×(m²+5)=4m-19.当b²-4ac=4m-19=0,即m=

时，方程有两个相等的实数根．

9．解方程：x+2=x(x+2)．

估分为分

参考答案

参考答案：原方程可化为：(x+2)-x(x+2)=0．分解因式，得(x+2)(1-x)=0，x+2=0或1-x=0，即x₁=-2，x₂=1．

10．请写出一个方程，使它的一个根为2，另一个根比1小，比-1大．

估分为分

参考答案

参考答案：(x-2)(x+

)=0(或5x²-9x-2=0)(答案不唯一)

11．某人向上掷一小石子，设x秒后离地面的高度为(20x-5x²)米．问：
(1)几秒时小石子离地面的高度为15米？ (2)几秒时小石子落到地面？

估分为分

参考答案

参考答案：(1)由题意，得20x-5x²=15，即5x²-20x+15=0．化简，得x²-4x+3=0，因式分解，得(x-1)(x-3)=0．解得x₁=1，x₂=3，即1秒或3秒时小石子离地面的高度为15米．
(2)由题意，得20x-5x²=0，即5x²-20x=0．化简，得x²-4x=0．因式分解，得x(x-4)=0．解得x₁=0(合去)，x₂=4，即4秒时小石头落地．

12．阅读下题的解答过程，请判断其解答过程是否有误，若有，请你写出正确的答案，
已知m是关于x的方程mx²-2x+m=0的一个根，求m的值，
解：把x=m代入原方程，化简，m³=m，两边同除以m，得m²=1，所以m=1．把m=1代入原方程检验，可知m=1符合题意，所以m的值是1．

估分为分

参考答案

参考答案：错m=0或m=-1或m=1

13．已知关于x的方程x²+x+n=0有两个实数根-2，m，求m，n的值．

估分为分

参考答案

参考答案：解：∵方程x²+x+n=0有两个实数根-2，m，
∴

解得

14．已知关于x的一元二次方程x²-(2m+3)x+m²+2=0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x₁, x₂且满足，求实数m的值．

估分为分

参考答案

参考答案：解：(1)∵关于x的一元二次方程x²-(2m+3)x+m²+2=0有实数根，
∴b²-4ac≥0，即[-(2m+3)]²-4(m²+2)≥0，
∴m≥-

.
(2)根据题意，得x₁+x₂=2m+3，x₁·x₂=m²+2．
∵

∴(x₁+x₂)²-2x₁·x₂=31+|x₁·x₂|,
即(2m+3)²-2(m²+2)=31+m²+2.
解得m=2，m=-14(舍去)．∴m=2．

15.已知关于x的方程x²-2(m-2)x+m²=0．问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

估分为分

参考答案

参考答案：存在实数m，且m的值是-2．

考试倒计时

90分钟

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1. 单项选择题。(每小题3分，共15分)

1 2 3 4 5

2. 填空题。(每小题5分，共30分)

1 2 3 4 5 6

3. 按要求做题。(每小题5分，共75分)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

一、单项选择题。(每小题3分，共15分)

1．下列所给的方程中，是一元二次方程的有 () ①5x(x-1)=3；②x²=0；③3x²=x；④x²+2x+=0；⑤(3x²-4)²=5. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2．方程(x-3)²=4的根为 () A. 5 B. 1 C. 2 D. 5或1

3．方程2x²+3x-8=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 () A. B. C. D. 以上答案都不对

4.用公式法解方程4x²+12x+3=0，得 () A. B. C. D.

5．如果x₁，x₂是一元二次方程x²-6x-2=0的两个实数根，那么x₁+x₂的值是() A. -6 B. -2 C. 6 D. 2

二、填空题。(每小题5分，共30分)—— 请在横线上直接作答

1．已知m是方程x²-x-1=0的一个根，则代数式m²-m的值等于.

2．方程3x²-8=7x化为一般形式是，a=，b=，c=，方程的根是．

3. 若(2x+1)(x-2)=0，则x₁=，x₂=．

4. 如果关于x的一元二次方程x²+px+q=0的两根为2和-3，那么x²+px+q可分解因式为．

5．关于x的一元二次方程x²-mx+2m=0的一个根为1，则方程的另一根为.

6．阅读材料：设一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的两根为x₁, x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=，x₁·x₂=． 根据该材料填空：已知x₁, x₂是方程x²+6x+3=0的两实数根，则的值为.

三、按要求做题。(每小题5分，共75分)

1．如图所示，将一边长为3的正方形两边剪去宽为x的矩形，剩余部分的面积为5，列出关于x的方程．

2．把下列方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1) (x-5)²=36； (2) 3y(y+1)=2(y+1)．

3．用配方法解下列方程： (1)x²+4x-4=0； (2)4x²+12x-72=0.

4．用配方法证明m²-8m+23的值恒为正．

5．已知x²-4x+y²+6y+13=0，求x-y的值．

6．用公式法解下列方程： (1)x²-4x+10=0；(2) 2x²+2x=1.

7. 已知方程x²-ax+2a=0的一个根是3，求a的值和方程的另一个根．

8. m为何值时，方程x²-(2m+1)x+m²+5=0有两个相等的实数根？

9．解方程：x+2=x(x+2)．

10．请写出一个方程，使它的一个根为2，另一个根比1小，比-1大．

11．某人向上掷一小石子，设x秒后离地面的高度为(20x-5x²)米．问： (1)几秒时小石子离地面的高度为15米？ (2)几秒时小石子落到地面？

13．已知关于x的方程x²+x+n=0有两个实数根-2，m，求m，n的值．

14．已知关于x的一元二次方程x²-(2m+3)x+m²+2=0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为x₁, x₂且满足，求实数m的值．

15.已知关于x的方程x²-2(m-2)x+m²=0．问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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1．下列所给的方程中，是一元二次方程的有 ()
①5x(x-1)=3；②x²=0；③3x²=x；④x²+2x+=0；⑤(3x²-4)²=5.
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

2．方程(x-3)²=4的根为 ()
A. 5
B. 1
C. 2
D. 5或1

3．方程2x²+3x-8=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 ()
A.
B.
C.
D. 以上答案都不对

4.用公式法解方程4x²+12x+3=0，得 ()
A.
B.
C.
D.

5．如果x₁，x₂是一元二次方程x²-6x-2=0的两个实数根，那么x₁+x₂的值是()
A. -6
B. -2
C. 6
D. 2

6．阅读材料：设一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的两根为x₁, x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=，x₁·x₂=．
根据该材料填空：已知x₁, x₂是方程x²+6x+3=0的两实数根，则的值为.

2．把下列方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) (x-5)²=36；
(2) 3y(y+1)=2(y+1)．

3．用配方法解下列方程：
(1)x²+4x-4=0； (2)4x²+12x-72=0.

6．用公式法解下列方程：
(1)x²-4x+10=0；(2) 2x²+2x=1.

11．某人向上掷一小石子，设x秒后离地面的高度为(20x-5x²)米．问：
(1)几秒时小石子离地面的高度为15米？ (2)几秒时小石子落到地面？

14．已知关于x的一元二次方程x²-(2m+3)x+m²+2=0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x₁, x₂且满足，求实数m的值．