人教版数学九年级上册专项突破试卷（一元二次方程与二次函数）

一、单项选择题。(每小题1分，共10分)

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 ()
A. 3(x+1)²=2(x+1)
B. -2=0
C. ax²+bx+c=0
D. x²-x(x+7)=0

2．方程x²-2x=0的根是 ()
A. x₁=0,x₂=2
B. x₁=0,x₂=-2
C. x=0
D. x=2

3．方程x²-x+2=0的根的情况是 ()
A. 只有一个实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 没有实数根

4．若a是不等于零的实数，对于二次函数y=|a|x²的图象有如下判断：①开口方向向上；②与函数y=x²形状相同；③以y轴为对称轴；④以原点为顶点；⑤无论x为何实数，函数y总是非负数．其中判断正确的有 ()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

5．把抛物线y=-x²向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ()
A. y=-(x-1)²-3
B. y=-(x+1)²-3
C. y=-(x-1)²+3
D. y=-(x+1)²+3

6．关于x的方程x²+mx-1=0的两根互为相反数，则m的值为 ()
A. 0
B. 2
C. 1
D. -2

7．已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点M在 ()

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

8．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x²-7x+10=0的一个实数根，则这个三角形的周长是 ()
A. 19
B. 19或16
C. 16
D. 22

9．若二次函数y=ax²+c(a≠0)，当x分别取x₁,x₂(x₁≠x₂)时，函数值相等，则当x取x₁+x₂时，函数值为 ()
A. a+c
B. a-c
C. -c
D. c

10.某饲料厂今年一月份生产饲料500 t，三月份生产饲料720 t，若二月份和三月份这两个月的月平均增长率为x，则有 ()
A. 500(1+2x)=720
B. 500(1+x)²=720
C. 500(1+x²)=720
D. 720(1+x)²=500

*以下为主观题，系统不自动评分，请答题后自行估分。若没有估分，系统按满分计算。

二、填空题。(每小题5分，共50分)—— 请在横线上直接作答

1．若方程(4-m)+3x-2=0是一元二次方程，则m=.

估分为分

参考答案

参考答案：

-4

2．用配方法解一元二次方程2x²+3x+1=0，变形为(x+m)²=k，则m=,k=．

估分为分

参考答案

参考答案：答案见详解

、答案见详解

3.若抛物线y=x²-kx+k-1的顶点在x轴上，则k=．

估分为分

参考答案

参考答案：

4．若关于x的方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，则m=．

估分为分

参考答案

参考答案：

5．若二次函数y=ax²+2x+a²-1(a≠0)的图象如图所示，则a的值是．

估分为分

参考答案

参考答案：

-1

6．已知关于x的一元二次方程x²+(2m-3)x+m²=0的两个不相等的实数根α，β满足，则m的值为．

估分为分

参考答案

参考答案：

-3

7．如果二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的顶点为(-2，4)，且过点(-3，0)，则其图象在x=-1的右侧y随x的增大而．

估分为分

参考答案

参考答案：减小

8．一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1 m，梯子的底端下滑xm，可得方程．

估分为分

参考答案

参考答案：7²+(6+x)²=10²

9．定义新运算“※”：规则a※b=如1※2=2，,若x²+x-1=0的两根为x₁, x₂，则x₁※x₂=．

估分为分

参考答案

参考答案：答案见详解

10.对于某个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积是3．
满足上述全部特点的一个二次函数的解析式为．

估分为分

参考答案

参考答案：答案见详解y=

三、按要求做题。(每小题10分，共60分)

1．用适当的方法解下列方程：
(1)(6x-1)²=25； (2)4x²-1=12x；
(3)x²-； (4)x(x-7)=8(7-x)．

估分为分

参考答案

参考答案：(1)x₁=1，x₂=-

(2)

(3)x₁=x₂=

(4)x₁=7, x₂=-8

2．用配方法写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标．
(1)y=2x²-4x+1； (2)y=-x²+x-4．

估分为分

参考答案

参考答案：解：(1)y=2x²-4x+1=2(x²-2x)+1=2(x²-2x+1)-2×1+1=2(x-1)²-1．
所以，抛物线y=2x²-4x+1的对称轴为x=1，顶点坐标为(1，-1)．
(2) y=-

x²+x-4=-

(x²-2x)-4=-

(x²-2x+1)+

-4=-

(x-1)²-

．
所以，抛物线y=-

x²+x-4的对称轴为x=1，顶点坐标为(1，-

)．

3．已知关于x的一元二次方程mx²-(2m+1)x+m+3=0．
(1)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)如果方程的一个根x₁=-1，求另一个根x₂及(x₁-)(x₂-)的值．

估分为分

参考答案

参考答案：解：(1)[-(2m+1)]²-4m(m+3)＞0，得-8m+1＞0，m＜

．
又∵方程为一元二次方程，∴m＜

且m≠0.
(2)把x₁-=-1代入原方程，解得m=-1．
∴原方程为-x²+x+2=0，解得另一根为x₂=2．
∴(x₁-

)(x₂-

)=(-1-

)·(2-

)=1-

．

4．某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元．
(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？

估分为分

参考答案

参考答案：解：(1)设这个降价率为x，则40(1-x)²=32.4.
解得x₁=0.1，x₂=1.9(不合题意，舍去)，所以降价率为10%.
(2)

×10+500=880(件)．

5．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围绕成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？求出这个最大值；
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．

估分为分

参考答案

参考答案：解：(1)y=30-2x (6≤x＜15)；
(2)设矩形苗圃园的面积为S，则S=xy=x(30-2x)=-2x²+30x.∴S=-2(x-7.5)²+112.5.
由(1)知，6≤x＜15，∴当x=7.5时，

=112.5 m²．
即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5 m时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 m²．
(3)6≤x≤11．

6．如图，已知点O(0，0)，A(-5，0)，B(2，1)，抛物线，：y=-(x-h)²+1(h为常数)与y轴的交点为C．
(1)经过点B，求它的解析式，并写出此时的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为，求的最大值，此时有两点(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，其中x₁＞x₂≥0，比较y₁与y₂的大小；
(3)当线段OA被只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．

估分为分

参考答案

参考答案：解：(1)把点B的坐标B(2，1)代入y=-(x-h)²+1，得1=-(2-h)²+1．解得h=2.
则该函数解析式为y=-(x-2)²+1(或y=-x²+4x-3)．
故抛物线

的对称轴为x=2，顶点坐标是(2，1)．
(2)点C的横坐标为0，则

=-h²+1．当h=0时，y有最大值1，
此时，抛物线

为：y=-x²+1，对称轴为y轴，开口方向向下，所以当x≥0时，y随x的增大而减小，所以x₁＞x₂≥0，y₁＜y₂.
(3)∵线段OA被

只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O(0，0)，4(-5，0)，
∴当线段OA被

只分为两部分的点的坐标分别是(-1，0)，(-4，0).
把x=-1，y=0代入y=-(x-h)²+1，得
0=-(-1-h)²+1．解得h₁=0，h₂=-2．
但是当h=-2时，线段OA被抛物线

分为三部分，不合题意，舍去．
同样，把x=-4，y=0代入y=-(x-h)²+1，得h=-5或h=-3(合去)．
综上所述，h的值是0或-5．

考试倒计时

90分钟

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1. 单项选择题。(每小题1分，共10分)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. 填空题。(每小题5分，共50分)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3. 按要求做题。(每小题10分，共60分)

1 2 3 4 5 6

一、单项选择题。(每小题1分，共10分)

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 () A. 3(x+1)²=2(x+1) B. -2=0 C. ax²+bx+c=0 D. x²-x(x+7)=0

2．方程x²-2x=0的根是 () A. x₁=0,x₂=2 B. x₁=0,x₂=-2 C. x=0 D. x=2

3．方程x²-x+2=0的根的情况是 () A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根

5．把抛物线y=-x²向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 () A. y=-(x-1)²-3 B. y=-(x+1)²-3 C. y=-(x-1)²+3 D. y=-(x+1)²+3

6．关于x的方程x²+mx-1=0的两根互为相反数，则m的值为 () A. 0 B. 2 C. 1 D. -2

7．已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点M在 () A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x²-7x+10=0的一个实数根，则这个三角形的周长是 () A. 19 B. 19或16 C. 16 D. 22

9．若二次函数y=ax²+c(a≠0)，当x分别取x₁,x₂(x₁≠x₂)时，函数值相等，则当x取x₁+x₂时，函数值为 () A. a+c B. a-c C. -c D. c

10.某饲料厂今年一月份生产饲料500 t，三月份生产饲料720 t，若二月份和三月份这两个月的月平均增长率为x，则有 () A. 500(1+2x)=720 B. 500(1+x)²=720 C. 500(1+x²)=720 D. 720(1+x)²=500

二、填空题。(每小题5分，共50分)—— 请在横线上直接作答

1．若方程(4-m)+3x-2=0是一元二次方程，则m=.

2．用配方法解一元二次方程2x²+3x+1=0，变形为(x+m)²=k，则m=,k=．

3.若抛物线y=x²-kx+k-1的顶点在x轴上，则k=．

4．若关于x的方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，则m=．

5．若二次函数y=ax²+2x+a²-1(a≠0)的图象如图所示，则a的值是．

6．已知关于x的一元二次方程x²+(2m-3)x+m²=0的两个不相等的实数根α，β满足，则m的值为．

7．如果二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的顶点为(-2，4)，且过点(-3，0)，则其图象在x=-1的右侧y随x的增大而．

8．一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1 m，梯子的底端下滑xm，可得方程．

9．定义新运算“※”：规则a※b=如1※2=2，,若x²+x-1=0的两根为x₁, x₂，则x₁※x₂=．

三、按要求做题。(每小题10分，共60分)

1．用适当的方法解下列方程： (1)(6x-1)²=25； (2)4x²-1=12x； (3)x²-； (4)x(x-7)=8(7-x)．

2．用配方法写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标． (1)y=2x²-4x+1； (2)y=-x²+x-4．

3．已知关于x的一元二次方程mx²-(2m+1)x+m+3=0． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)如果方程的一个根x₁=-1，求另一个根x₂及(x₁-)(x₂-)的值．

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1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 ()
A. 3(x+1)²=2(x+1)
B. -2=0
C. ax²+bx+c=0
D. x²-x(x+7)=0

2．方程x²-2x=0的根是 ()
A. x₁=0,x₂=2
B. x₁=0,x₂=-2
C. x=0
D. x=2

3．方程x²-x+2=0的根的情况是 ()
A. 只有一个实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 没有实数根

5．把抛物线y=-x²向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ()
A. y=-(x-1)²-3
B. y=-(x+1)²-3
C. y=-(x-1)²+3
D. y=-(x+1)²+3

6．关于x的方程x²+mx-1=0的两根互为相反数，则m的值为 ()
A. 0
B. 2
C. 1
D. -2

7．已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点M在 ()

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

8．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x²-7x+10=0的一个实数根，则这个三角形的周长是 ()
A. 19
B. 19或16
C. 16
D. 22

9．若二次函数y=ax²+c(a≠0)，当x分别取x₁,x₂(x₁≠x₂)时，函数值相等，则当x取x₁+x₂时，函数值为 ()
A. a+c
B. a-c
C. -c
D. c

10.某饲料厂今年一月份生产饲料500 t，三月份生产饲料720 t，若二月份和三月份这两个月的月平均增长率为x，则有 ()
A. 500(1+2x)=720
B. 500(1+x)²=720
C. 500(1+x²)=720
D. 720(1+x)²=500

1．用适当的方法解下列方程：
(1)(6x-1)²=25； (2)4x²-1=12x；
(3)x²-； (4)x(x-7)=8(7-x)．

2．用配方法写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标．
(1)y=2x²-4x+1； (2)y=-x²+x-4．

3．已知关于x的一元二次方程mx²-(2m+1)x+m+3=0．
(1)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)如果方程的一个根x₁=-1，求另一个根x₂及(x₁-)(x₂-)的值．