课程内容

《正弦、余弦定理应用举例（1）》
一、预备知识
1、复习正弦定理和余弦定理
（1）正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为外接圆的半径）
（2）余弦定理 a²=b²+c²-2abcosA
              b²=a²+c²-2abcosB
              c²=a²+b²-2abcosC
2、利用三角形解应用题中的有关名词、术语：
（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。
（2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
（3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的水平角。
（4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角。
（5）基线：在测量中，我们根据测量需要适当确定的线段叫基线。
3、解三角形应用题的一般步骤是：
（1）分析：理解题意，画出示意图
（2）建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中
（3）求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。
（4）检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解
应用1：测量距离
例1：设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）。
例2：A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA=60°，求A、B两点间距离。
练习1：一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
应用2：测量高度
例3：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
例4：如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β=50°1′。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD（精确到m）。
练习2：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD。