课程内容

《等差数列的前n项和》
复习：
1、等差数列的定义：
   {a_n}是等差数列←→a_n-a_n-1=d（n≥2）
2、通项公式：a_n=a₁+（n-1）d
3、重要性质：a_n=a_m+（n-m）d
问题1：求S=1+2+3+…+100=？
问题2：如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。
问题3：设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，即S_n=a₁+a₂+…+a_n，怎样求一般等差数列的前n项和呢？
等差数列的前n项和公式：
公式1：S_n=n（a₁+a_n）/2
公式2：S_n=na₁+n（n-1）d/2
思考：
（1）两个求和公式有何异同点？
（2）在等差数列{a_n}中，如果已知五个元素中a₁、a_n、n、d、S_n的任意三个，请问：能否求出其余两个量？
结论：知三求二
公式记忆——类比梯形面积公式记忆
等差数列前n项和公式的函数特征：
    S_n=na₁+（1/2）n（n-1）d=dn2/2+（a₁-d/2）n
设A=d/2，B=a₁-d/2，则S_n=An²+Bn（A，B是常数）
特征：当A≠0（即d≠0时），S_n是关于n的二次函数式，即S_n=An²+Bn的图象是抛物线y=Ax²+Bx上的一群孤立的点。
思考：数列{a_n}的前n项和S_n=An²+Bn（A，B是常数），则数列{a_n}是不是一定要是等差数列？
结论：{a_n}是公差为2A的等差数列←→S_n=An²+Bn（A，B是常数）
问：如果一个数列{a_n}的前n项和S_n=pn²+qn+r（其中p，q，r为常数，且p≠0），那么这个数列一定是等差数列吗？
结论：如果一个数列{a_n}的前n项和Sn=pn²+qn+r（其中p，q，r为常数，且p≠0），那么这个数列是等差数列当且仅当r=0。
例1：计算
（1）1+2+3+…+n；
（2）1+3+5+…+（2n-1）；
（3）2+4+6+…+2n；
（4）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n。
例2：等差数列-10，-6，-2，2…前多少项的和时54？
例3：数列{a_n}为等差数列，若a₁+a₂+a₃=12，a₈+a₉+a₁₀=75。求S₁₀。
例4：在等差数列{a_n}中，已知a₂+a₅+a₁₂+a₁₅=36，求S₁₆。