课程内容

《等差数列前n项和的性质及其应用》
练习：
1、若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有_______项。
2、已知两个等差数列{a_n}{b_n}，它们的前n项和分别是S_n，T_n，若S_n/T_n=（2n+3）/（3n-1），求a₉/b₉。
等差数列的前n项和性质：
1、已知{a_n}是公差为d的等差数列，若b₁=a₁+a₂+…+a_k，b₂=a_k+1+a_k+2+…+a_2k，b₃=a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k，…，
则：b₁，b₂，b₃，…，成等差数列，公差为kd。
（等差数列等分若干段后，各段和依序成等差数列。）
数列{a_n}是公差为d的等差数列，则S_n=An²+Bn → S_n/n=An+B → {S_n/n}是等差数列，公差为A。
2、已知{a_n}是公差为d的等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，则{S_n/n}是等差数列，公差为d/2。
等差数列的前n项和的最值问题：
例1：在等差数列{a_n}中，a₁=-60，a₁₇=-12，
（1）该数列第几项开始为正？
（2）前多少项和最小，并求其最小值？
（3）求{a_n}前n项和S_n？
（4）求{|a_n|}前n项和T_n？
对等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
（1）利用a_n：
当a₁＞0，d＜0，前n项和有最大值（可由a_n≥0，且a_n+1≤0，求得n的值）。
当a₁＜0，d＞0，前n项和有最小值（可由a_n≤0，且a_n+1≥0，求得n的值）。
（2）利用S_n：由S_n=（d/2）n²+（a₁-d/2）n二次函数配方法求得最值时n的值。
例2：已知等差数列{a_n}中，S_n为前n项和，a₃=12，且S₁₂＞0，S₁₃＜0。
（1）求公差d的取值范围。
（2）前几项和最大？并说明理由。
等差数列奇数项、偶数项和问题
结论：设数列{a_n}是等差数列，且公差为d，
（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，则①S_偶-S_奇=nd；②S_奇/S_偶=a_n/a_n+1；
结论：设数列{a_n}是等差数列，且公差为d，
（Ⅱ）若项数为偶数，设共有2n+1项，则①S_奇-S_偶=a_n+1=a_中；②S_奇/S_偶=（n+1）/n。
例3：在等差数列{a_n}中，前m项（m为奇数且m大于1）和为77，其中偶数项和为33，且a₁-a_m=18，求这个数列的通项公式。
例4：已知等差数列{a_n}的项数为偶数，且奇数的和为24，偶数项的和为30，最后一项与首项之差为10.5，求此数列的首项，公差及项数。