课程内容

《不等关系与不等式（1）》
一、生活中的不等关系
（1）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（2）《铁路旅行常识》规定：旅客每人免费携带物品——杆状物不超过200m，重量不得超过20kg。
（3）我们班的数学成绩高于平行班的成绩。
二、用不等式（组）表示不等关系
（1）右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h。
（2）设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任一点，则d与AB的大小关系为_____。
（3）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%。
问题1：生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢？
转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖（a＞b＞0），若再加m（m＞0）克糖，则糖水更甜了，为什么？
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
思考：（1）销售量减少了多少？
      （2）现在销售量是多少？
      （3）销售总收入为多少？
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
三、实数大小的比较
关于实数大小的比较，有以下的事实：
如果a-b是正数，那么a＞b
如果a-b等于零，那么a=b
如果a-b是负数，那么a＜b
反过来结论也正确。
这既是比较大小（或证明大小）的基本方法，又是推导不等式的性质的基础。
作差比较法其一般步骤是：
    作差→变形→判断→结论
四、应用：
例1：比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小。
例2：比较（x²+1）2与x⁴+x²+1的大小。
例3：已知a、b、m都是正数，且a＞b，求证：（b+m）/（a+m）＞b/a
例4：设x∈R且x≠-1，比较1/（1+x）与1-x的大小。
例5：设f（x）=1+log_x3，g（x）=2log_x2，其中x＞0，且x≠1，试比较f（x）和g（x）的大小。