课程内容
第19章《一次函数》19.2.1 正比例函数（1）
问题1：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km，设列车的平均速度为300千米/时，考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁的行程y（单位：km）与运营时间t（单位：h）之间有何数量关系？
（3）京沪高铁从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？
解：（1）京沪高铁全程运行时间约需 1318÷300≈4.4（h）
（2）京沪高铁的行程y是运营时间t的函数，函数解析式为y=300t（0≤t≤4.4）
（3）京沪高铁从北京南站出发2.5h的行程，是当t=2.5时函数y=300t的值，即当t=2.5时，y=300t=300×2.5=750（km）。这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站。
思考：
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？
（1）圆的周长l随半径r的大小变化而变化。 l=2πr
（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化。 m=7.8V
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化。 h=0.5n
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。 T=-2t
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常数和自变量。
| 函数解析式 | 函数 | 常量 | 自变量 |
| l=2πr | l | 2π | r |
| m=7.8V | m | 7.8 | V |
| h=0.5n | h | 0.5 | n |
| T=-2t | T | -2 | t |
这些函数解析式有什么共同点？
这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！
函数=常数×自变量
k = k · x
归纳
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
想一想，为什么k≠0？
正比例函数解析式的一般式：
y=k·x（k是常数，k≠0）
注：正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：
①k≠0
②x的指数是1
③k与x是乘积关系
1、判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
（1）y=2/x （2）y=x/2
（3）y=x2 （4）y=-6x
（5）y=kx（k≠0） （6）y=2x+5
2、下列关系中的两个量成正比例的是（ ）
A、从甲地到乙地，所用的时间和速度
B、正方形的面积与边长
C、买同样的作业本所要的钱和作业本的数量
D、人的体重和身高
3、列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数（ ）
（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm；
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元；
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm，体积为ycm3。
应用新知
例1：已知一个正比例函数的比例系数是-5，则它的解析式是什么？
y=-5x
注意：
解析式的特征：
正比例函数解析式y=kx（k是常数，k≠0)的特征：
①k≠0
②自变量x的指数是1
练习（1）若y=-5x3m-2是正比例函数，m=______。
正比例函数←→y=kx（k≠0）
例2：k为何值时，函数
是正比例函数？
是正比例函数？解：由题意得
解得k=-1
答：当k=-1时，函数是正比例函数。
是正比例函数。正比例函数解析式的应用
练习：
（2）若
是正比例函数，m=______。
是正比例函数，m=______。（3）若
是正比例函数，求m的值。
是正比例函数，求m的值。（4）若函数y=(k+1)x+k-1是正比例函数，求k的值及y与x的函数关系式。
（5）若y=(a+3)x+a2-9是正比例函数，求a的值。
（6）已知
是正比例函数，求m的值。
是正比例函数，求m的值。（7）若函数
是y关于x的正比例函数，求k值及函数关系式。
是y关于x的正比例函数，求k值及函数关系式。例：已知y与x成正比例，且当x=-1时，y=-6，求y与x之间的函数关系式。
解：设解析式为y=kx
因为 当x=-1时，y=-6
所以 有-6=-k
k=6
所以，函数解析式为y=6x
已知正比例函数当自变量x等于-4时，函数y的值等于2。
（1）求正比例函数的解析式和自变量的取值范围；
（2）求当x=6时函数y的值。
解：（1）设该正比例函数的解析式为y=kx，依题意，把x=-4，y=2代入上式，得2=-4k
解得k=-1/2
∴所求的正比例函数解析式是y=-
（x为任何实数）
（x为任何实数） （2）当x=6时，y=-3
已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高线x（cm）的函数解析式，并指明它是什么函数；
（2）当x=7时，求出y的值。
解：（1）y=1/2×BC·x=1/2×8·x=4x
即y=4x 它是正比例函数
（2）当x=7时，y=4x=4×7=28
课堂总结
1、正比例函数的概念。
2、根据已知条件求正比例函数的解析式。
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王老师
女，中教高级职称
从事数学教学与研究多年，市优秀教师、优秀班主任。获市“优秀课”奖、“教学能手”称号。
