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九年级数学上册第1章《二次函数》1.4 二次函数的应用(2)

九年级数学上册 1.4 二次函数的应用(2)

一、选择题

1.某工艺品的进价为100元,标价135元出售,每天可售出100件,根据销售统计,该工艺品每降价1元,则每天可多售出 4件,要使每天获得的利润最大,则每件需降价   (    )
A.3.6元
B.5元
C.10元
D.12元

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【试题解析】:设每件降价x元,每天获得的利润为W元,根据题意,得W=(135-x- 100)(100+4x)=-4x²+40x+3500= -4( x-5)²+3 600,∴-4<0,∴当x=5时,W取得最大值,最大值为3 600,即每件降价5元时,每天获得的利润最大,最大利润为3 600元,故选B.
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【参考答案】:B

二、填空题

1.某商店购进一批单价为8元的商品,如果按每件10元出售,那么每天可销售100件.经调查发现,这种商品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少10件,为使每天所获销售利润最大,销售单价应定为元.

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【试题解析】:设销售单价为x元,利润为w元,由题意可得w=(x-8)[ 100-(x-10)×10]=- 10x²+280x -1600= -10( x-14)²+360,∴当x= 14时,w取得最大值,此时w=360.
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【参考答案】:14

2.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内,若以每件x元( 20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为元.

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【试题解析】:设利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)²+25,∵20≤x≤30,∴当x= 25时,二次函数有最大值,此时利润最大.
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【参考答案】:25

三、解答题

1.某公司投入研发费用80万元( 80万元只计入第一年成本).成功研发出一种产品,公司按订单生产(产量=销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为6元/件,此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y= -x+26.
(1)求这种产品第一年的利润W₁(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式;
(2)该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是多少?
(3)第二年,该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产成本降为5元/件.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制,销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润W₂至少为多少万元.

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【参考答案】:解:(1)W₁=(x-6)(-x+26)-80=-x²+32x-236.
(2)由题意得20= -x²+32x-236,
解得 x₁=x₂=16.
答:该产品第一年的售价是16元.
(3)∵公司规定第二年产品的售价不超过第一年的售价,且受产能限制,销售量无法超过12万件,∴14≤x≤16,W₂=(x-5)(-x+26)-20= -x²+31x-150,
易知当x=14时,W₂取得最小值,且最小值为88.
答:该公司第二年的利润W₂至少为88万元.

2.我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为,每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表:
  
(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式;
(2)若月利润w(万元)=当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式;
(3)当x为何值时,月利润w有最大值,最大值为多少?

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【参考答案】:解:(1)当1≤x≤9时,设每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式为z= kx+b,
解得
即当1≤x≤9时,每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式为z= -x+20,
当10≤x≤12时,z= 10.
综上可得,
(2)当1≤x≤8时,w=(x+4)(-x+20)=-x²+16x+80;
当x=9时,w=(-9+20)×(- 9+20)=121;
当10≤x≤12时,w=(-x+20)×10= -10x+200.
综上可得,
(3)当1≤x≤8时,w= -x²+16x+80= -(x-8)²+144,
 ∴当x=8时,w取得最大值,此时w= 144;
  当x=9时,w=121;
当10≤x≤12时,w= - 10x+200.
则当x= 10时,w取得最大值,此时w=100.
综上可得,当x为8时,月利润w有最大值,最大值为144万元.

3.我区“联华”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(x≥30)之间存在如图所示的一次函数关系.


(1)试求出y与x的函数关系式;
(2)设超市销售该绿色食品每天获得利润p元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?

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【参考答案】:解:(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵一次函数的图象过(30,400)和(40,200),代入解析式可得解得
∴y与x的函数关系式为y=-20x+1 000( 30≤x≤50).
(2)由(1)可知每天的销售量为y千克,
∴p=y(x-20)=(- 20x +1 000)(x- 20)=- 20x²+1 400x -20 000=-20(x-35)²+4 500,
∵-20<0,
∴当x= 35时,p取得最大值,最大值为4 500元,即销售单价为35元时,每天可获得最大利润,最大利润为4 500元.

4.温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品,每人每天生产2件甲或1件乙,甲产品每件可获利15元.根据市场需求和生产经验,乙产品每天产量不少于5件,当每天生产5件时,每件可获利120元,每增加1件,当天平均每件利润减少2元.设每天安排x人生产乙产品.
(1)根据信息填表:

产品种类

每天工人数(人)

每天产量(件)

每件产品可获利润(元)

_______

_______

15

x

x

________

(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元,求每件乙产品可获得的利润;
(3)该企业在不增加工人的情况下,增加生产丙产品,要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一件产品),丙产品每件可获利30元,求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的x值.

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【参考答案】:解:(1)∵每天安排x人生产乙产品,∴生产甲产品的有(65 -x)人,∴每天生产甲产品( 130- 2x)件,在乙产品每件获利120元的基础上,增加x人,每件利润减少2x元,则乙产品每件的利润为120-2(x-5)=130-2x.故从左向右、从上往下依次填65-x;130-2x;130-2x.
(2)由题意得15×(130-2x)=x(130-2x)+550,∴x²-80x+700=0.
解得x₁= 10,x₂=70(不合题意,舍去),
∴130-2x= 110(元).
答:每件乙产品可获得的利润是110元.
(3)设生产甲产品m人,
则W=x( 130-2x) +15×2m+30(65-x-m)=-2(x- 25)²+3 200,
∵2m= 65-x-m,
.∵x、m都是非负整数,
∴当x=26时,m=13,65-x-m= 26.
即当x= 26时,W取得最大值,且.
答:安排26人生产乙产品时,可获得最大利润,且最大利润为3 198元.

5.交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体,并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征,其中流量q(辆/小时)指单位时间内通过道路指定断面的车辆数;速度v(千米/小时)指通过道路指定断面的车辆速度;密度k(辆/千米)指通过道路指定断面单位长度内的车辆数.为配合大数据治堵行动,测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表:

速度v

(千米/小时)

...

5

10

20

32

40

48

...

流量q

(辆/小时)

...

550

1000

1600

1792

1600

1152

...

(1)根据上表信息,下列三个函数关系式中,刻画q,v关系最准确的是____________(只填上正确答案的序号);
 
(2)请利用(1)中选取的函数关系式分析,当该路段的车流速度为多少时,流量达到最大?最大流量是多少?
(3)已知g,v,k满足q=vk,请结合(1)中选取的函数关系式继续解决下列问题.
  ①市交通运行监控平台显示,当12≤v<18时道路出现轻度拥堵,试分析当车流密度k在什么范围时,该路段将出现轻度拥堵;
  ②在理想状态下,假设前后两车车头之间的距离d(米)均相等,求流量q最大时d的值.

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【参考答案】:解:(1)①q=90v+100,q随v的增大而增大,显然不符合题意.
,q随v的增大而减小,趾然不符合题意.
故刻画q,v关系最准确的是③.
故答案为③.
(2)∵q=-2v²+120v= -2(v-30)²+1 800,
∴v=30时,q取得最大值,q的最大值为1 800.
(3)①当v=12时,q=1 152,此时k=96;
当v= 18时,q=1 512,此时k= 84,
∴84<k≤96.
②当v= 30时,q=1 800,此时k= 60,
∵在理想状态下,假设前后两车车头之间的距离d(米)均相等,
∴流量q最大时,d的值为米.

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雷老师

女,中教高级职称

雷利彩,教学水平较高,培养并指导学生参加全国性比赛并取得优异成绩。

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[北京市] 挺好

许锐窈

2019-08-03 17:25:56

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