课程内容
《正弦定理》
一、任意三角形中边与角的关系
(1)直角三角形中:
sinA=a/c,sinB=b/c,sinC=1
即c=a/sinA,c=b/sinB,c=c/sinC
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
如图,当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,有CD=asinB=bsinA,则a/sinA=b/sinB,同理可得c/sinC=b/sinB,从而a/sinA=b/sinB=c/sinC。
再看钝角三角形的情况:
如图,当△ABC是钝角三角形时,延长AB作AB边上的高CD,根据三角函数的定义,在△ACD有CD=bsinA,在△BCD中,CD=asin(180°-B)=asinB
因此asinB=bsinA,所以a/sinA=b/sinB,同理可得c/sinC=b/sinB,从而a/sinA=b/sinB=c/sinC。
正弦定理:
在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC
正弦定理的变形公式(变式):
(1)a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (2R为△ABC的外接圆直径)
(2)a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC
(3)sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R
(4)sinA:sinB:sinC=a:b:c
(5)a2=ab ←→ sin2A=sinBsinC
(6)2a=b+c ←→ 2sinA=sinB+sinC
二、正弦定理的应用
应用(1)解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。
正弦定理可解决解三角形中的两类问题:
1、已知三角形的两角和一条边,求其他两边和第三角;
2、已知三角形的两边和其中一边对角,求其他的边和角。
例1:已知△ABC,根据下列条件求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1):
(1)∠A=60°,∠B=45°,a=10
(2)b=3√6,c=6,∠B=120°
(3)a=3,b=4,∠A=60°
应用(2):判断与证明
例2:在△ABC中,若a/cos(A/2)=b/cos(B/2)=c/cos(C/2),则△ABC一定是( )
(A)等腰三角形 (B)等腰直角三角形
(C)直角三角形 (D)等边三角形
例3:在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状。
例4:如图在△ABC中,∠A的平分线AD与边BC相交于点D,求证:BD/DC=AB/AC。
三、总结
1、正弦定理的内容及变形公式
2、正弦定理的应用
3、正确利用△ABC中三角A、B、C的关系及诱导公式
四、课堂练习
1、在△ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )
A、a=7,b=14,A=30° B、a=30,b=25,A=150°
C、a=50,b=72,A=135° D、a=25,b=30,A=30°
2、在△ABC中,a=100,c=50√2,A=45°,则C=______。
3、在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,则此三角形最大边的长为______。
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杨老师
女,中教高级职称
教学功底扎实,教学经验丰富,对知识体系有深厚的了解。