2021年人教版数学九年级上册第二十二章二次函数(五)

一、单项选择题。(每小题2分，共18分)

1.已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）
A. 正比例函数
B. 一次函数
C. 反比例函数
D. 二次函数

2.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x²-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）
A. y=(x＋2)²＋2
B. y=(x-2)²-2
C. y=(x-2)²＋2
D. y=(x＋2)²-2

3.已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是（）
A. y=-0.5x²+5x
B. y=-x²+10x
C. y=0.5x²+5x
D. y=x²+10x

4.对于y=ax²+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）
A. 当b=0时，二次函数是y=ax²+c
B. 当c=0时，二次函数是y=ax²+bx
C. 当a=0时，一次函数是y=bx+c
D. 以上说法都不对

5.把抛物线y=﹣0.5x²先向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度后，所得的函数表达式为（）
A. y=﹣0.5（x+1）²+2
B. y=﹣0.5（x+1）²﹣2
C. y=﹣0.5（x﹣1）²+2
D. y=﹣0.5（x﹣1）²﹣2

6.不论m为何实数，抛物线y=x²﹣mx+m﹣2（）
A. 在x轴上方
B. 与x轴只有一个交点
C. 与x轴有两个交点
D. 在x轴下方

7.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（）
A. 60元
B. 80元
C. 60元或80元
D. 30元

8.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图所示，则下列结论中错误的是（）

A. 当m≠1时，a+b＞am²+bm
B. 若a+bx₁=a+bx₂，且x₁≠x₂，则x₁+x₂=2
C. a﹣b+c＞0
D. abc＜0

9.如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点（0.5,0），有下列结论:①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m(am-b).其中所有正确的结论是（）

A. ①②③
B. ①③④
C. ①②③⑤
D. ①③⑤

*以下为主观题，系统不自动评分，请答题后自行估分。若没有估分，系统按满分计算。

二、填空题。(每小题4分，共32分)—— 请在横线上直接作答

1.已知二次函数y＝x²，当x＞0时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．

估分为分

参考答案

参考答案：增大

2.写出一个开口向上，顶点坐标是（2，﹣3）的函数解析式.

估分为分

参考答案

参考答案：y＝（x﹣2）²﹣3

3.把抛物线y=ax²+bx+c的图象先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的解析式是y=x²-4x+5,则a+b+c=.

估分为分

参考答案

参考答案：7

4.如果抛物线y＝ax²+b和直线y＝x+b都经过点P（2，6），则a＝，b＝，抛物线的图象不经过第象限．

估分为分

参考答案

参考答案：

、4、三、四

5.如图，用20 m长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为m².

估分为分

参考答案

参考答案：50

6. 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如下图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0,1.25)，水流路线最高处M（1，2.25），则该抛物的解析式为如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要m，才能使喷出的水流不至落到池外。

估分为分

参考答案

参考答案：y=-x²+2x+1.25、2.5

7.如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①abc＜0；②a+b=0；③4ac-b²=4a；④a+b+c＜0.其中正确的有个。

估分为分

参考答案

参考答案：3

8．如图，把抛物线y＝x²平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x²交于点Q，则图中阴影部分的面积为.

估分为分

参考答案

参考答案：

三、按要求做题。(每小题10分，共70分)

1.如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y＝x²﹣2mx+m²﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值，此时抛物线F上有两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂≤﹣2，比较y₁与y₂的大小．

估分为分

参考答案

参考答案：解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2＝1+2m+m²﹣2，
∴m＝﹣1，
∴抛物线F的表达式是y＝x²+2x﹣1．
（2）当x＝﹣2时，yp＝4+4m+m²﹣2＝（m+2）²﹣2，
∴当m＝﹣2时，yp的最小值＝﹣2．
此时抛物线F的表达式是y＝（x+2）²﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小．
∵x₁＜x₂≤﹣2，
∴y₁＞y₂．

2.如图，直线经过点A（4，0）和点B（0，4），且与二次函数的图象在第一象限内相交于点P，若△AOP的面积为，求二次函数的解析式。

估分为分

参考答案

参考答案：因为直线

与两坐标轴分别交于点A（4，0），B（0，4），
所以直线

的函数表达式为

，
设点P的坐标为

，
因为△AOP的面积为

所以

因为点P再直线

上
所以

，得

，
所以P

.因为点P在抛物线

上，
所以

，得

，
所以二次函数的解析式为

．

3.如图，二次函数y＝(x＋2)²＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足(x＋2)²＋m≥kx＋b的x的取值范围．

估分为分

参考答案

参考答案：（1）∵抛物线y＝（x＋2）²＋m经过点A（-1，0），
∴0＝1＋m，∴m＝-1
∴抛物线的解析式为y＝（x＋2）²-1＝x²＋4x＋3
∴点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝-2.
又∵点B，C关于对称轴对称，
∴点B的坐标为（-4，3）.
∵y＝kx＋b经过点A，B
∴

，解得

，
∴一次函数的解析式为y＝-x-1；
（2）由图象可知，满足（x＋2）²＋m≥kx＋b的x的取值范围为x≤-4或x≥-1.

4.一次函数y=0.75x的图象如图所示，它与二次函数y=ax²-4ax＋c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.
(1)求点C的坐标；
(2)设二次函数图象的顶点为D.
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

估分为分

参考答案

参考答案：解：（1）二次函数的对称轴是x=﹣1，则B的坐标是（1，0），
当△OAB是等腰直角三角形时，OA=OB=1，则A的坐标是（0，1）或（0，﹣1）．
抛物线y=x²﹣2x+n﹣1与y轴交于点A的坐标是（0，n﹣1）．
则n﹣1=1或n﹣1=﹣1，解得n=2或n=0；
（2）①当抛物线的顶点在x轴上时，△=（﹣2）²﹣4（n﹣1）=0，解得：n=2；
②当抛物线的顶点在x轴下方时，如图，
由图可知当x=0时，y＜0；当x=3时，y≥0，即

，
解得：﹣2≤n＜1，综上，﹣2≤n＜1或n=2．

5.我们规定：若＝(a，b), ＝(c，d)，则＝ac＋bd.如＝(1，2), ＝(3，5)，则＝1×3＋2×5＝13.
(1)已知＝(2，4), ＝(2，-3)，求；
(2)已知＝(x-a，1),＝(x-a，x＋1)，求y＝，问y＝的函数图象与一次函数y＝x-1的图象是否相交，请说明理由．

估分为分

参考答案

参考答案：解：（1）∵

＝（2，4），

＝（2，-3），∴

＝2×2＋4×（-3）＝-8；
（2）∵

＝（x-a，1），

＝（x-a，x＋1），∴y＝

＝（x-a）²＋（x＋1）＝x²-（2a-1）x＋a²＋1，∴y＝x²-（2a-1）x＋a²＋1.联立方程x²-（2a-1）x＋a²＋1＝x-1，化简得x²-2ax＋a²＋2＝0.∵Δ＝（-2a）²-4×1×（a²＋2）＝4a²-4a²-8＝-8＜0，∴方程无实数根，两函数图象无交点.

6.交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．
为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表：

速度v（千米/小时）

…

5

10

20

32

40

48

…

流量q（辆/小时）

…

550

1000

1600

1792

1600

1152

…

（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____（只填上正确答案的序号）
①q＝90v+100；②q＝；③q＝-2v²+120v．
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（3）已知q，v，k满足q＝vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．
①市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值．

估分为分

参考答案

参考答案：解：（1）函数①q＝90v+100，q随v的增大而增大，显然不符合题意．
函数②q＝

，q随v的增大而减小，显然不符合题意．
故刻画q，v关系最准确的是③．
故答案为③．
（2）∵q＝﹣2v²+120v＝﹣2（v﹣30）²+1800，
∵﹣2＜0，
∴v＝30时，q达到最大值，q的最大值为1800．
（3）①当v＝12时，q＝1152，此时k＝96，
当v＝18时，q＝1512，此时k＝84，
∴84＜k≤96．
②当v＝30时，q＝1800，此时k＝60，
∵在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，
∴流量q最大时d的值为

＝

m．

7.如图，抛物线y＝ax²+2x+c经过A，B，C三点，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求此抛物线的关系式；
（2）设点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段BC于点D，当△BCP的面积最大时，求点D的坐标；
（3）点M是抛物线上的一动点，当（2）中△BCP的面积最大时，请直接写出使∠PDM＝45°的点M的坐标．

估分为分

参考答案

参考答案：解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：

，解得：

，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x²+2x+3①；

（2）y＝﹣x²+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），
故OB＝OC＝3，则直线BC与x轴的夹角∠OBC＝45°，
设：直线BC的表达式为：y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入上式得：

，解得：

，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x²+2x+3），则点D（x，﹣x+3），
△BCP的面积S＝S△PDC+S△PDB＝

PD×（xB﹣xC）＝

（﹣x²+2x+3+x﹣3）×3＝﹣

x²+

x，
∵

＜0，故△BCP的面积S有最大值，此时x＝

，
故点D（

，

）；
（3）①当点M在点P的左侧时，如下图，
由（2）知∠OCB＝45°，PD∥y轴，

则∠PDC＝∠OCB＝45°，点C在抛物线上，故点M即为点C，
故点M（C）的坐标为：（0，3）；
②当点M在点P的右侧时，如上图，
∠PDM＝45°，则∠MDB＝90°，
而直线BC与x轴的负半轴的夹角为45°，故MD与x轴的夹角为45°，
故设直线DM的表达式为：y＝x+t，
将点D的坐标代入上式得：

＝

+t，解得：t＝0，
故直线DM的表达式为：y＝x②，
联立①②并解得：

（舍去负值），
故点M（

，

），
综上点M的坐标为：（0，3）或（

，

）．

考试倒计时

90分钟

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1. 单项选择题。(每小题2分，共18分)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2. 填空题。(每小题4分，共32分)

1 2 3 4 5 6 7 8

3. 按要求做题。(每小题10分，共70分)

1 2 3 4 5 6 7

速度v（千米/小时）	…	5	10	20	32	40	48	…
流量q（辆/小时）	…	550	1000	1600	1792	1600	1152	…

一、单项选择题。(每小题2分，共18分)

1.已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数

2.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x²-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（） A. y=(x＋2)²＋2 B. y=(x-2)²-2 C. y=(x-2)²＋2 D. y=(x＋2)²-2

3.已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是（） A. y=-0.5x²+5x B. y=-x²+10x C. y=0.5x²+5x D. y=x²+10x

4.对于y=ax²+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（） A. 当b=0时，二次函数是y=ax²+c B. 当c=0时，二次函数是y=ax²+bx C. 当a=0时，一次函数是y=bx+c D. 以上说法都不对

5.把抛物线y=﹣0.5x²先向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度后，所得的函数表达式为（） A. y=﹣0.5（x+1）²+2 B. y=﹣0.5（x+1）²﹣2 C. y=﹣0.5（x﹣1）²+2 D. y=﹣0.5（x﹣1）²﹣2

6.不论m为何实数，抛物线y=x²﹣mx+m﹣2（） A. 在x轴上方 B. 与x轴只有一个交点 C. 与x轴有两个交点 D. 在x轴下方

7.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（） A. 60元 B. 80元 C. 60元或80元 D. 30元

8.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图所示，则下列结论中错误的是（） A. 当m≠1时，a+b＞am²+bm B. 若a+bx₁=a+bx₂，且x₁≠x₂，则x₁+x₂=2 C. a﹣b+c＞0 D. abc＜0

9.如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点（0.5,0），有下列结论:①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m(am-b).其中所有正确的结论是（） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①③⑤

二、填空题。(每小题4分，共32分)—— 请在横线上直接作答

1.已知二次函数y＝x²，当x＞0时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．

2.写出一个开口向上，顶点坐标是（2，﹣3）的函数解析式.

3.把抛物线y=ax²+bx+c的图象先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的解析式是y=x²-4x+5,则a+b+c=.

4.如果抛物线y＝ax²+b和直线y＝x+b都经过点P（2，6），则a＝，b＝，抛物线的图象不经过第象限．

5.如图，用20 m长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为m².

7.如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①abc＜0；②a+b=0；③4ac-b²=4a；④a+b+c＜0.其中正确的有个。

8．如图，把抛物线y＝x²平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x²交于点Q，则图中阴影部分的面积为.

三、按要求做题。(每小题10分，共70分)

2.如图，直线经过点A（4，0）和点B（0，4），且与二次函数的图象在第一象限内相交于点P，若△AOP的面积为，求二次函数的解析式。

5.我们规定：若＝(a，b), ＝(c，d)，则＝ac＋bd.如＝(1，2), ＝(3，5)，则＝1×3＋2×5＝13. (1)已知＝(2，4), ＝(2，-3)，求； (2)已知＝(x-a，1),＝(x-a，x＋1)，求y＝，问y＝的函数图象与一次函数y＝x-1的图象是否相交，请说明理由．

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1.已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）
A. 正比例函数
B. 一次函数
C. 反比例函数
D. 二次函数

2.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x²-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）
A. y=(x＋2)²＋2
B. y=(x-2)²-2
C. y=(x-2)²＋2
D. y=(x＋2)²-2

3.已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是（）
A. y=-0.5x²+5x
B. y=-x²+10x
C. y=0.5x²+5x
D. y=x²+10x

4.对于y=ax²+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）
A. 当b=0时，二次函数是y=ax²+c
B. 当c=0时，二次函数是y=ax²+bx
C. 当a=0时，一次函数是y=bx+c
D. 以上说法都不对

5.把抛物线y=﹣0.5x²先向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度后，所得的函数表达式为（）
A. y=﹣0.5（x+1）²+2
B. y=﹣0.5（x+1）²﹣2
C. y=﹣0.5（x﹣1）²+2
D. y=﹣0.5（x﹣1）²﹣2

6.不论m为何实数，抛物线y=x²﹣mx+m﹣2（）
A. 在x轴上方
B. 与x轴只有一个交点
C. 与x轴有两个交点
D. 在x轴下方

7.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（）
A. 60元
B. 80元
C. 60元或80元
D. 30元

8.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图所示，则下列结论中错误的是（）

A. 当m≠1时，a+b＞am²+bm
B. 若a+bx₁=a+bx₂，且x₁≠x₂，则x₁+x₂=2
C. a﹣b+c＞0
D. abc＜0

9.如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点（0.5,0），有下列结论:①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m(am-b).其中所有正确的结论是（）

A. ①②③
B. ①③④
C. ①②③⑤
D. ①③⑤

5.我们规定：若＝(a，b), ＝(c，d)，则＝ac＋bd.如＝(1，2), ＝(3，5)，则＝1×3＋2×5＝13.
(1)已知＝(2，4), ＝(2，-3)，求；
(2)已知＝(x-a，1),＝(x-a，x＋1)，求y＝，问y＝的函数图象与一次函数y＝x-1的图象是否相交，请说明理由．