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首页> 模拟考试> 2021年人教版数学九年级上册 期中测试卷（四）

2021年人教版数学九年级上册 期中测试卷（四）


一、单项选择题。(每小题1分，共10分)

1．抛物线y＝2（x﹣3）²+4顶点坐标是（）
A. （3，4）
B. （﹣3，4）
C. （3，﹣4）
D. （2，4）

2．如图，在⊙O中，∠BOC＝80°，则∠A等于（）
 
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°

3．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）
A.
B. x（x+1）＝2070
C. 2x（x+1）＝2070
D. x（x﹣1）＝2070

4．根据下列表格对应值：

x

3

4

5

y＝ax²+bx+c

0.5

﹣0.5

﹣1
判断关于x的方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（）
A. x＜3
B. 3＜x＜4
C. x＞5
D. 4＜x＜5

5．如图是抛物线y₁＝ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax²+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y₂＜y₁，
其中正确的是（）
 
A. ①②③
B. ①③④
C. ②④⑤
D. ①③⑤

6．农夫将苹果树种在正方形的果园内。为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树。在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为（） 
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16

7．二次函数y＝kx²﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A. k＜3
B. k＜3且k≠0
C. k≤3
D. k≤3且k≠0

8．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转，得到△A B′C′，点C恰好在B′C′上，旋转角为α，则∠C′的度数（用含α的式子表示）。（）
 
A. 90°﹣    
B. 90°+ 
C. 91°﹣    
D. 45°

9.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA＝6，∠APB＝60°，则OC的长为（）
 
A. 2     
B. 3    
C.     
D. 5

10．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（）
 
A.
B.
C.
D.

*以下为主观题，系统不自动评分，请答题后自行估分。若没有估分，系统按满分计算。

二、填空题。(每小题5分，共40分)—— 请在横线上直接作答

1．一元二次方程2x²﹣2＝0的解是。

估分为分
参考答案
参考答案：x=1或x=-1

2．二次函数y＝x²－2 x＋6的最小值是。

估分为分
参考答案
参考答案：5

3．已知α、β是方程x²﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α²+αβ﹣3α的值为。

估分为分
参考答案
参考答案：0

4．如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是。

估分为分
参考答案
参考答案：


5．已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线。

估分为分
参考答案
参考答案：x=-1

6. 如图：AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C。若AB＝ ，OC＝1，则半径OB的长为。

估分为分
参考答案
参考答案：2

7．在平面直角坐标系中，M（6，8），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（－2，0），B（2，0），连接PA、PB，则当PA²＋PB²取得最大值时，PO＝。

估分为分
参考答案
参考答案：12

8．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（﹣2，y₁），点B（，y₂），点C（，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；（5）若m≠2，则m（am+b）＜2（2a+b），其中正确的结论的序号是。

估分为分
参考答案
参考答案：（1）（3）（5）

三、按要求做题。(每小题10分，共70分)

1．已知a是方程x²－2011x＋1＝0的一个根，求a²－2010a＋的值。

估分为分
参考答案
参考答案：解：a是方程x²－2011x＋1＝0的一个根，
则a²－2011a＋1＝0，
所以a²＋1＝2011a，a²＝2011a－1。
a²－2010a＋＝2011a－1－2010a＋
＝a－1＋ =2010。
0

2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E。
（1）求证：E是AC中点；
（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长。

估分为分
参考答案
参考答案：（1）证明：连接CD，
 
∵∠ACB＝90°，BC为⊙O直径，
∴EC为⊙O切线，且∠ADC＝90°；
∵ED切⊙O于点D，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC；
∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝ED，
∴AE＝CE，
即E为AC的中点；
∴BE＝CE；
（2）解：连接OD，
 
∵∠ACB＝90°，
∴AC为⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴EO平分∠CED，
∴OE⊥CD，F为CD的中点，
∵点E、O分别为AC、BC的中点，
∴OE＝AB＝＝5，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，
∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，
∴DE＝AC＝＝4，
在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，
由三角形的面积公式得：S△EDO＝，
即4×3＝5×DF，
解得：DF＝2.4，
在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8。
0

3．国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价。商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报。某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望。为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售。
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元。
请问哪种方案更优惠？

估分为分
参考答案
参考答案：解：(1)设平均每次下调的百分率为x。
5000×(1－x)²＝4050。
(1－x)²＝0.81，
解得1－x＝0.9或1－x＝－0.9(不合题意，舍去)。
∵1－x＝0.9，
∴x＝0.1＝10%。
答：平均每次下调的百分率为10%。
(2)方案一的总费用为：100×4050×＝396 900(元)；
方案二的总费用为：100×4050－2×12×1.5×100＝401 400(元)。
∴方案一优惠。
0

4．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²﹣mx+﹣＝0的两个实数根。
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？

估分为分
参考答案
参考答案：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴△＝0，即m²﹣4（﹣）＝0，
整理得：（m﹣1）²＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x²﹣x+＝0，
解得：x₁＝x₂＝0.5，
故当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5。
（2）把AB＝2代入原方程得，m＝2.5，
把m＝2.5代入原方程得x²﹣2.5x+1＝0，解得x₁＝2，x₂＝0.5，
∴C ▱ABCD＝2×（2+0.5）＝5。
0

5．进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气。商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包。若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务。
（1）试确定周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式；
（2）试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围；
（3）当售价x（元/包）定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

估分为分
参考答案
参考答案：解：（1）由题意可得，
y＝200﹣（x﹣30）×5＝﹣5x+350
即周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：y＝﹣5x+350；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣20）×（﹣5x+350）＝﹣5x²+450x﹣7000（30≤x≤40），
即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：w＝﹣5x²+450x﹣7000（30≤x≤40）；
（3）∵w＝﹣5x²+450x﹣7000的二次项系数﹣5＜0，顶点的横坐标为：x＝﹣＝45，30≤x≤40
∴当x＜45时，w随x的增大而增大，
∴x＝40时，w取得最大值，w＝﹣5×40²+450×40﹣7000＝3000，
即当售价x（元/包）定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大，最大利润是3000元。
0

6．阅读资料：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1中∠ABC所示。同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图2）。
证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°，∴∠CAB=∠P
问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由。
知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F。求证：EF//BC。

估分为分
参考答案
参考答案：解：问题拓展：∠CAB=∠P成立。理由如下：
作直径AD，连接CD，如图3，则∠D=∠P，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵AB切⊙O于点A，
∴AD⊥AB，
∴∠CAB+∠CAD=90°，
∴∠CAB=∠P；
知识运用：如图4，连接DF，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵经过点A的⊙O与BC切于点D，
∴∠CDF=∠CAD，
∴∠BAD=∠CDF，
∵∠BAD=∠DFE，
∴∠CDF=∠DFE，
∴EF//BC。
0

7．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）。
 
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由。

估分为分
参考答案
参考答案：解：
（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）²+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0=a（3﹣1）²+4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）²+4，即y=﹣x²+2x+3，
∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，
∴直线BD解析式为y=﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m²+2m+3），
∴PM=﹣m²+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m²+3m=﹣（m﹣）²+，
∴当m=时，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG//y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
  
设Q（x，﹣x²+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG=|﹣x²+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x²+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO=45°，
∴∠HGQ=∠BGE=45°，
当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，
∴QG=×2=4，
∴|﹣x²+3x|=4，
当﹣x²+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，
当﹣x²+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）。
0

考试倒计时

90分钟

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1. 单项选择题。(每小题1分，共10分)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. 填空题。(每小题5分，共40分)

1 2 3 4 5 6 7 8

3. 按要求做题。(每小题10分，共70分)

1 2 3 4 5 6 7

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