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首页> 模拟考试> 2021年人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数(六)

2021年人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数(六)


一、单项选择题。(每小题4分，共40分)

1． 已知抛物线y=﹣x²+bx+4经过(﹣2，n)和(4，n)两点，则n的值为（）
A. ﹣2
B. ﹣4
C. 2
D. 4

2． 抛物线y=x²+6x+7可由抛物线y=x²如何平移得到的（）
A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D. 先回右平移3个单位，再向上平移2个单位

3．如图，在正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动.设运动时间为t(单位:s)，△OEF的面积为S(单位:cm²)，则S与t的函数关系可用图象表示为（）


A. A
B. B
C. C
D. D

4．根据下列表格中二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax²+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的取值范围是（）

A. 6
B. 6.17
C. 6.18
D. 6.19

5．二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（）

A. 函数有最小值
B. 对称轴是直线x=
C. 当x<时，y随x的增大而减小
D. 当-1

6．已知函数y₁=x²与函数y₂=x+3的图象大致如图，若y₁）< span="">

A.
B. x>2或x<
C. -2
D. x<-2或x>）<>

7．如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v(单位：m/s)与运动时间t(单位：s)的函数图象如图2，则该小球的运动路程y(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的函数图象大致是（）

A.
B.
C.
D.

8．如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点(-3，0).下列说法:①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若(-5，y₁)，(，y₂)是抛物线上两点，则y₁>y₂.其中正确的是（）

A. ①②
B. ②③
C. ①②④
D. ②③④

9．如图，抛物线y=ax²+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x=，连接AC，AD，BC，若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）

A. 点B坐标为(5，4)
B. AB=AD
C. a=
D. OC•OD=16

10．如图 ，将函数y=(x-2)²+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是（）

A. y=(x-2)²-2
B. y=(x-2)²+7
C. y=(x-2)²-5
D. y=(x-2)²+4

*以下为主观题，系统不自动评分，请答题后自行估分。若没有估分，系统按满分计算。

二、填空题。(每小题3分，共24分)—— 请在横线上直接作答

1.已知实数x，y满足x²+3x+y-3=0，则x+y的最大值为.

估分为分
参考答案
参考答案：4

2.如图所示，已知抛物线y=-x²+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是.

估分为分
参考答案
参考答案：y=-x²+2x+3

3.如图 ，直线y=mx+n与抛物线y=ax²+bx+c交于A(-1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax²+bx+c的解集是.

估分为分
参考答案
参考答案：x＜-1或x＞4

4.已知抛物线y₁=a(x﹣m)²+k与y₂=a(x+m)²+k(m≠0)关于y轴对称，我们称y₁与y₂互为“和谐抛物线”.请写出抛物线y=﹣4x²+6x+7的“和谐抛物线”.

估分为分
参考答案
参考答案：y=﹣4x²-6x+7

5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高.动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S₁，矩形PDFE的面积为S₂，运动时间为t秒(0＜t＜8)，则t=秒时，S₁=2S₂.

估分为分
参考答案
参考答案：6

6.已知点(x₁，y₁)，(x₂，y₂)均在抛物线y=x²-1上，下列说法:①若y₁=y₂，则x₁=x₂；②若x₁=-x₂，则y₁=-y₂；③若0 y₂；④若x₁y₂，其中正确的是.(填序号)

估分为分
参考答案
参考答案：④

7.二次函数y=x²-2x-3的图象如图所示.当y<0时,自变量x的取值范围是.

估分为分
参考答案
参考答案：-1

8.我们定义一种新函数：形如y=|ax²+bx+c|(a≠0，且b²﹣4a＞0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x²﹣2x﹣3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(﹣1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=﹣1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x=1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是个.

估分为分
参考答案
参考答案：4

三、应用题。(每小题8分，共56分)

1．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A(1，0)，C(0，3).

(1)若直线y=mx+n经过B.C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△PBC为直角三角形的点的坐标.

估分为分
参考答案
参考答案：解(1)依题意得解之得
∴抛物线的解析式:y=-x²-2x+3.
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A(1，0)，
∴把B(-3，0)，C(0，3)分别代入直线y=mx+n，得解之得
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3.
(2)∵点A、点B关于直线x=-1对称，直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，把x=-1代入直线y=x+3得y=2，

∴M(-1，2).即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1，2).
(注:本题只求M坐标没说要证明为何此时MA+MC的值最小，所以答案没证明MA+MC的值最小的原因).
(3)设P(-1，t)，又B(-3，0)，C(0，3)，
∴BC²=18，PB²=(-1+3)²+t²=4+t²，PC²=(-1)²+(t-3)²=t²-6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC²+PB²=PC²即:18+4+t²=t²-6t+10解之得t=-2，
②若点C为直角顶点，则BC²+PC²=PB²即:18+t²-6t+10=4+t²解之得t=4，
③若点P为直角顶点，则PB²+PC²=BC²即:4+t²+t²-6t+10=18解之得
t₁=，t₂=.
综上所述的坐标为(-1，-2)或(-1，4)或(-1，)或(-1，).
0

2．在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm²)，y关于x的函数图象由C₁，C₂两段组成，如图2所示.

(1)求a的值；
(2)求图2中图象C₂段的函数表达式；
(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围.

估分为分
参考答案
参考答案：解(1)如图，作PD⊥AB于D，

∵∠A=30°，∴PD=AP=x，
由题图2可知，当x=1时，y=，
∴×a×1=，∴a=1.
(2)如图，作PD⊥AB于D，

由图象可知，PB=5×2-2x=10-2x，PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB，
∴y=×AQ×PD=x×(10-2x)·sinB，
∵当x=4时，y=，∴×4×(10-2×4)·sinB=，解得sinB=，
∴y=x×(10-2x)×=-x²+x；
(3)x²=-x²+x，
解得x₁=0，x₂=2，
由图象可知，当x=2时，y=x²有最大值，最大值是×2²=2，
-x²+x=2，
解得，x₁=3，x₂=2，
∴当2
0

3．如图 ，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系.

(1)求该抛物线的解析式；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线形的拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过8.5m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

估分为分
参考答案
参考答案：(1)y=-(x-6)²+10.　(2)这辆货车能安全通过.　(3)两排灯的水平距离最小是6m.
0

4．利民商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息，如图所示.

请根据以上信息，解答下列问题：
(1)甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？
(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件.为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

估分为分
参考答案
参考答案：(1)甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元.
(2)当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.
0

5．如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4m，点B到水平面的距离为2m，OC=8m.

(1)请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P？(无需证明)
(3)为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O，P之间的距离是多少？(请写出求解过程)

估分为分
参考答案
参考答案：解(1)以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，如图，设抛物线的函数解析式为y=ax²，由题意知点A的坐标为(4，8).

因为点A在抛物线上，所以8=4²a，解得a=.所以所求抛物线的函数解析式为y=x².
(2)找法:
延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称.连接BD交OC于点P，则点P即为所求.
(3)由题意知，点B的横坐标为2，因为点B在抛物线上，
所以点B的坐标为(2，2).
又点A的坐标为(4，8)，
所以点D的坐标为(-4，8).
设直线BD的函数解析式为y=kx+b，
则
解得k=-1，b=4.
所以直线BD的函数解析式为y=-x+4，把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为(0，4)，因此两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4m.
0

6．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm²时，裁掉的正方形边长多大？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元.裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？

估分为分
参考答案
参考答案：(1)裁掉的正方形的边长为2dm时，底面积为12dm².
(2)当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低为25元.
0

7．有一个窗户形状如图(1)，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m².
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图 (2)，材料总长仍为6m.
利用图(3)，解答下列问题：
(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积；
(2)与上面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.

估分为分
参考答案
参考答案：(1)S=m².　(2)与上面的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大了.
0

考试倒计时

90分钟

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1. 单项选择题。(每小题4分，共40分)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. 填空题。(每小题3分，共24分)

1 2 3 4 5 6 7 8

3. 应用题。(每小题8分，共56分)

1 2 3 4 5 6 7

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