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九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识》3.4 直线与圆的位置关系(第三课时)

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九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识》3.4 直线与圆的位置关系(第三课时)
第三章《对圆的进一步认识》
3.4 直线与圆的位置关系
第三课时
你能说出切线的判定定理的逆命题吗?这个逆命题是真命题还是假命题?如果是真命题,你能给出证明吗?
已知:如图3-40,直线l与⊙O相切与点A.
求证:OA⊥l.
证明

如图3-40,假设l与半径OA不能垂直,过点O作OB⊥直线l,垂足为点B.在l上取BA=BA,且使B点在A与A´之间,连
接OA´.于是OB垂直平分AA´,OA=OA´.
∵点A是切点,OA是⊙O的半径.
∴OA´也是⊙O的半径.
这就是说,直线l与⊙O有两个公共点,即l与⊙O相交,这与已知条件“直线l与⊙O相切与点A"矛盾,所以OA⊥l.
由此得到
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径.
反证法:
几何语言:
∵直线l为⊙O切线且A为⊙O切点.
∴OA⊥l.
例3
A,B,C是⊙O上的三点,经过点A,点B分别作⊙O的切线,两切线相交于点P,如果∠P=42°,求∠ACB的度数.

(1)如图3-41,当C在上时,连接OA,OB.
∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,
∴∠OAP=∠OBP=90°.
在四边形OAPB中,
∵∠P=42°,
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P
       =360°-90°-90°-42°=138°.
∴∠ACB=1/2∠AOB=1/2×138°=69°.

(2)如图3-42,当C在劣上时,在优弧上任取一点C´,连接AC´,BC´.
由(1)知,∠AC´B=69°,
在圆内接四边形ACBC´中,
∵∠ACB+∠AC´B=180°.
∴∠ACB=180°-∠AC´B=180°-69°=111°.
练习
1.如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,直线BE切⊙O于点B.求证:∠A=∠CBE.

证明:
∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠CBA=90°
∵直线BE切⊙O于点B.
∴∠ABE=90°
∴∠ABC+∠CBE=90°
∴∠A=∠CBE.
2.如图,AB是⊙O的弦,AO的延长线交过点B的⊙O的切线于C,如果∠A=20°,求∠C的度数.

拓展与延伸
11.如图,PC是⊙O的切线,C是切点,PO交⊙O于点A,过点A的切线交PC于点D,CD:DP=1:2,AD=2cm.求⊙O的半径.

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崔老师

男,中教高级职称

市优秀教师、骨干教师,数学学科带头人。在教学中注重学生自学能力和数学思维能力的培养,教学成绩突出。

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