课程内容

《直线与圆的位置关系》
复习提问：
1、点与圆有几种位置关系？

2、过两点能画多少个圆？
   它们的圆心有什么规律？
情景引入：
    若将点改成直线，那么直线与圆的位置关系又如何呢？
1、直线与圆的位置关系
观察右边的三个图形：直线与圆分别有多少个公共点？
1.如图1，直线与圆(没有)公共点，那么这条直线与圆(相离)。
2.如图2，直线与圆有(一个)公共点时，那么直线与圆(相切)。此时，这条直线叫做圆的(切线)，这个公共点叫做(切点)。
3.如图3，直线与圆有(两个)公共点时，那么直线与圆(相交)。此时，这条直线叫做(割线)。
问题：一艘轮船在沿直线返回港口途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立执教坐标系，取10km为单位长度。
圆O的方程为;x²+y²=9;
轮船航线所直线的方程为4x+7y-28=0;
问题归结为圆心为O的圆与直线有无公共点。
例1 已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x²+y²-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标。
分析：
    1、看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
    2、依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系。
解法一：由直线与圆的方程，得
         3x+y-6=0, ①
         x²+y²-2y-4=0 ②
      消去y，得
          x²-3x+2=0,
      因为  △=（-3）²-4×1×2=1＞0
      所以，直线l与圆相交，有两个公共点。
解法二：将圆x²+y²-2y-4=0化成标准方程，得
          x²+(y-1)²=5
     圆心坐标为（0，1），半径长为√5.
     圆心到直线l的距离是
     d=|3xO+1-6|/√3 ²+12=5/√10<√5
     由x²-3x+2=0,解得
      x₁=2,x₂=1
     把x ₁=2代入方程①，得y₁=0;
例2 已知过点M（-3，3）的直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为4√5,求直线的方程。

判断直线l与圆C的位置关系有两种方法。
方法一：判断直线l与圆C的方程组成的方程是否有解。（代数方法）
两组实数解——→相交
主要步骤：
    把直线方程与圆的方程联立成方程组
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
       求出其△的值
比较△与O的大小：
    当△＜0，直线与圆相离；当△＞0时，直线与圆相切；当△＞0，直线与圆相交。
主要步骤：
把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径。
利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离。
作判断：当d＞r时，直线与圆相离：当d=r时，直线与圆相切：
2.已知直线l：y=k(x-5)及圆x²+y²=6,若直线l与圆相切，求k值；
课堂小结
    解直线与圆的位置关系问题一般可从代数特征或几何特征去考虑，根据题目给出的已知条件选择恰当的方法。
    涉及圆中弦的问题时，运用半弦长、半径、弦心距构成直角三角形解题是减少运算量的有效途径。