课程内容

《点、直线、平面之间的位置关系》
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1.平面的基本性质
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名称   图示       文字表示                  符号表示
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公理              如果一条直线上的         A∈ι，B∈ι，
                  两点在一个平面内         且A∈α，
                  ，那么这条直线在此       B∈α =>ιCα  
                  平面内
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线在面内的依据
2.空间两直线的位置关系
（1）共面直线：相交直线：同一半面内，有且只有一个公共点：
              平行直线：同一半面内，没有公共点：
    异面直线：不同在任何一半面内，没有公共点。
（2）平行公理
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。
（3）等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
（4）异面直线所成的角
①定义：设α，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线α'∥α，b'∥b。把α'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b所成的角（或夹角）。
②范围：（0，π/2]
3.直线与平面的位置关系
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位置关系            图示     符号表示       公共点个数
直线ι在平面α内                ιCα             无数个
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直线ι与平面α相交              ιCα=A           一个
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直线ι与平面α平行              ι∥α            0个
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4.平面与平面的位置关系
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位置关系       图示   符号表示       公共点个数
两平面平行            α∥B           0个
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两平面相交           α∩β= ι    无数个（这些公共点均在交线ι上）
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5.线面的平行关系
线线平行=> 线面平行=> 面面平行
线线平行<= 线面平行<= 面面平行
6.线面的垂直关系
线线垂直=> 线面垂直=> 面面垂直
线线垂直<= 线面垂直<= 面面垂直
例题讲解
一、平面的性质
1.以下四个命题中，正确命题的个数是（）
①不共面的四个点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b、共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④首尾依次相接的四条线段必共面。
A.0      B.1
C.2      D.3
2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）
A.平行或异面     B.相交或异面
C.异面           D.相交
二、异面直线所成角的计算
例、如图，三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点。
（1）求异面直线AE和PE所成角的余弦值。
（2）求三棱椎A-PBC的体积。
解：（1）取BC的中点F，连续EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF（或其补角）就是异面直线AE和PB所成角。
∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC。
∴AF＝3，AE＝2，EF＝2；
cos∠AEF＝（2+2-3）/（2×2×2）＝1/4，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为1/4。
（2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为1/2PA＝1，V_A-EBC＝V_E-ABC＝1/3×（1/2×2×2×（-，3）/2）×1＝（-，3）/3。
三、直线与平面平行的性质与判定
例、如右图所示，已知P、Q是单位正方形ABCD—A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁AB和面ABCD的中心。
求证：PQ∥平面BCC₁B₁。
证：如右图②，连续AB₁，B₁C，
∵△AB₁C中，PQ分别是AB₁和AC的中点，∴PQ∥B₁C。
又PQ￠平面BCCB₁,BC C平面BCC₁B₁,
∴PQ∥平面BCC₁B₁。
另证：取AB的中点M，连续PM，QM，证明平面PQM∥平面BCC₁B₁。
6、直线与平面的垂直
例，如右图，在矩形ABCD中，AB=3 BC=3，沿对角线BD把ΔBCD折起，使C移到C'，且C'在面ABD内的射影O恰好落在AB上。
（1）求证：AD⊥BC'；
（2）求证：平面DBC'⊥平面ABC'。
证明：（1）由题意知，C'O⊥平面ABD。
∵C'O C平面ABC’，∴平面ABC'⊥平面ABD。
又∵AD⊥AB，平面ABC'∩平面ABD=AB，
∴AD⊥平面ABC'，∴AD⊥BC'。