课程内容

《双曲线的简单几何性质》
一、复习回顾
1、双曲线的定义
平面内与两个定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于常数（小于∣F₁F₂∣）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。即∣∣MF₁∣-∣MF₂∣∣=2a，（2a＜2c）
2、双曲线的标准方程：


x²/a²-y²/b²=1（a﹥0，b﹥0）  y²/a²-x²/b²=1（a﹥0，b﹥0）。
3、前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
你能类比探究出双曲线的几何性质吗？

一、研究双曲线x²/a²-y²/b²=1（a﹥0，b﹥0）的笑意几何性质
1、范围
因为x²/a²≥1，x²≥a²
∴x≥a，x≤-a
2、对称性
关于X轴，Y轴和原点都是对称。
X轴、Y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，叫做双曲线的中心
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
顶点是A₁（-a，0）、A₂（a，0）
（2）线段A₁B₂叫做双曲线的实轴，
线段B₁B₂叫做双曲线的虚轴。
实轴的长为2a，虚轴的长为2b；
a称为半实轴的长，b称为半虚轴的长；
（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
x²-y²=m（m≠0）
4、渐近线
（1）双曲线x²/a²-y²/b²=1（a﹥0，b﹥0）的渐近线为y=±（b/a）x
（2）等轴双曲线x²-y²=m（m≠0）的渐近线为y=±x
双曲线的渐近线
规定：直线y=±（b/a）x叫做双曲线x²/a²-y²/b²=1的渐近线。
思考：①双曲线x²/a²-y²/b²=1的渐近线方程是什么？y=±（a/b）x
②两种双曲线的渐近线方程，怎么统一记忆？
x²/a²-y²/b²=1    x²/a²-y²/b²=0    y=±（b/a）x
y²/a²-x²/b²=1    y²/a²-x²/b²=0    y=±（a/b）x
3、双曲线的画法
①定顶点
②画矩形
③画渐近线
5、离以率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e=c/a，叫做双曲线的离以率。
（2）e的范围：因为c﹥a﹥0 ∴e﹥0
（3）e的含义：b/a=（√c²-a²）/a=√(c/a)²-1=√e²-1
∴当e∈（1+∞）时，b/a∈（1+∞），且e增大，b/a也增大。 e增大时，渐近线与实轴的夹角增大。
e是表示双曲线开口大小的一个量，e越林开口越大。