课程内容

《函数的单调性与导数》
一、复习与引入
（1）画出下列函数的图像，并根据图象指出每个函数的单调区间
(1)y=1/x  (2)y=x²-2x-1    （3）y=3^x
（1）在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
（2）在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数。
（3）在（-∞，+∞）上是增函数。
（2）函数单调性判定（定义法）
函数y=f(x)在给定区间G上，当x₁，x₂∈G且x₁＜x²时
1）都有f（x₁）＜f（x₂），则f（x）在G上是增函数；
2）都有f（x₁）﹥f（x₂），则f（x）在G上是减函数；
（3）单调函数的图象特征  G=（a，b）

若f（x）在G上是增函数或减函数，则f（x）在G上有单调性。G称单调区间。
（4）注意
（1）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子区间。
（2）单调区间是针对自变量x而言的。
若函数在某区间上是增函数，则此区间为一个递增区间；若函数在某区间上是减函数，则此区间为一个递减区间。
以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x₁＜x₂的前提下，比较f（x₁）与（x₂）的大小，在函数y=f（x）比较复杂的情况下，比较f(x₁)与f（x₂）的大小并不很容易，如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。
二、讲授新课：
一般地，函数y=f（x）在某个区间（a，b）内
1）如果恒有f′（x）﹥0，那么y=f（x）在这个区间（a，b）内单调递增；
2）如果恒有f′（x）＜0，那么y=f（x）在这个区间（a，b）内单调递减；
如果在某个区间内恒有f′（x）=0，则f（x）为常数函数。

例1、确定函数f（x）=x²-4x-5 在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？
解：（1）求函数的定义域
            函数f（x）的定义域是（-∞、+∞）
    （2）求函数的导数f′（x）=2x-4
    （3）f′﹥0以及 f′（x）＜0
求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。
令2x-4﹥0，解得x﹥2
∴x∈（2，+∞）时，f（x）是增函数
令2x-4＜0， 解得x＜2
∴x∈（-∞，2）时，f（x）是减函数。
利用导数讨论函数单调性的步骤
（1）求 y=f（x）的定义域D
（2）求导数f′（x）。
（3）解不等式组{f′（x）﹥0 得f（x）的单调递增区间；
                   x∈D
角不等式组｛f(x)＜0  得f（x）的单调递减区间。
            x∈D
说明：函数的单调区间必定是它的定义域的子集、故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域，
在求出使导数的值为正或负的x的范围时，要与定义域取交集，注意结果一定要用区间表示。
例3：确定函数f（x）=x/2+sinx。
令1/2+cosx﹥0，解得2kπ-2π/3＜x＜2kπ+2π/3（k∈Z）
令1/2+cosx＜0，解得2kπ-2π/3＜x＜2kπ+4π/3（k∈Z）
因此，f（x）的递增区间是2kπ-2π/3，2kπ+2π/3（k∈Z）
                减区间是2kπ-2π/3，2kπ+4π/3（k∈Z）