课程内容

《空间向量运算的坐标表示》

学习目标

1.掌握空间向量运算的坐标表示方法；

2.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

空间直角坐标系

在空间选定一点O和一个单位正交基底｛(→，i)、(→，j)、(→，k)｝。以点O为原点，分别以(→，i)、(→，j)、(→，k)的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴它们都叫做坐标轴。这样就建立了一个空间直角坐标第O——xyz

点O叫做原点，向量(→，i)、(→，j)、(→，k)都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
向量的直角坐标运算
设a=（a1+a2+a3），b=（b1+b2+b3）则
a+b=（a1+b1，a2+b2，a3+b3）；
a-b=（a1-b1，a2-b2，a3-b3）；
λa=（λa1，λa2，λa3）,（λ∈R）； 
a.b=（a1b1+a2b2+a3b3）；
a∥b<=>a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R）；
    <=>a1∣b1=a2∣b2=a1∣b2。
a⊥b <=> a1b1+a2b2+a3b3=0；
距离与夹角
1.距离公式 
（1）向量的长度（模）公式
∣(→，a)∣2=(→，a).(→，a)＝a12+a22+a32
∣(→，b)∣2=(→，ｂ).(→，ｂ)＝ｂ12+ｂ22+ｂ32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
（2）空间两个点间的距离公式　
在空间直角坐标系中，已知A（x1，y2，z1）、B（x1，y2，z1）则
dA、B=Ö（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）
求距离范例
例1求下列两点间的距离
（1）A（1，1，0）  B（1，1，1）；
（2）C（-3，1，5），D（1，1，1）
解（1）∵A（1，1，0）， B（1，1，1）
∴∣(→，AB)∣=∣（1，1，1）-（1，1，0）∣
=∣（0，0，1）∣=Ö（02+02+12）=1
（2） ∵ C（-3，1，5），D（1，1，1） 
∴∣(→，)∣=∣（0，-2，3）-（-3，1，5）∣
             =∣（3，-3，-2）∣=Ö（32+（-3）2+（-2）2）=Ö22
距离与夹角
2.两个向量夹角公式
cos<(→，a)(→，b)>=<（→，a）.（→，a）>/∣（→，a）∣.∣（→，b）∣＝｛a1ｂ1+ａ2ｂ2+ａ3ｂ3｝/Öa12+a22+a22.Öｂ12+ｂ22+ｂ32；
注意：
（1）当cos＜{（→，a），（→，b）}=1时。（→，a）与（→，b）同向；
（2）当cos ＜{（→，a），（→，b）}=-1时。（→，a）与（→，b）反向；
（3）当cos ＜{（→，a），（→，b）}=0时。（→，a）⊥（→，b）。
求夹角范围
例2 求下列两个向量的夹角的余弦
（→，a）=（2，-3，Ö3），（→，b）=（1，0，0）；
解：（→，a）=（2，-3，Ö3），（→，b）=（1，0，0）
（→，a）.（→，ｂ）＝（2，-3，Ö3）.（1，0，0）＝2
∣（→，a）∣=∣（2，-3，Ö3）∣=Ö｛22+（-3）2+（Ö3）2｝=4
∣（→，b）∣=∣（1，0，0）∣=1
∴soc<（→，a）,（→，ｂ)>=（→，a）.（→，ｂ)>/∣（→，a）∣∣（→，ｂ)∣=2/4×1=1/2
距离与夹角应用举例
例3 已知A（3，3，1）、B（1，0，5），求：
（1）线段AB的中点坐标和长度；
解：设M（x，y，z）是AB的中点，则（→，OM）=1/2｛（→，OA）+（→，OB｝=1/2｛（3，3，1）+（1，0，5）｝=｛2，3/2，3｝，
∴点M的坐标是｛2，3/2，3｝.dＡ1ＢÖ（1-3）2+（0-3）2+（5-1）2＝Ö29。
（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件。
解：点P（x，y，z）到A、B的距离相等，则Ö（x-3）2+（y-3）2+（z-1）2=Ö（x-1）2+（y-0）2+（z-5）2，
化简整理得4x+6y+8z+7=0
即到A、B两点距离相等的点坐标（x，y，z）满足的条件是4x+6y+8z+7=0（AB线段的中垂面方程的系数向量（→，n)=（4，6，-8）恰好与(→，AB）=（-2，-3，4）平行）。
例4 如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=A1B1/4，求BE1与DF1所成的角的余弦值。
解：设正方形的棱长为1，如图建立空间直角坐标系O-xyz，则B（1，1，0）E1｛1，3/4，1｝。
(→，BE1)=｛1，3/4，1｝-（1，1，0）=｛0，-1/4，0｝，
(→，BE1)=｛1，3/4，1｝-（1，1，0）=｛0，-1/4，1｝，
(→，DF1)=｛1，3/4，1｝-（0，0，0）=｛0，1/4，1｝。
(→，BE1).(→，DF1)=0×0+（-1/4）×1/4+1×1=15/16，
∣(→，E1)∣Ö17/4，∣DF1∣= Ö 17/4。
cos＜(→，BE1)，(→，BE1)﹥=(→，BE1).(→，DF1)/∣(→，BE1)∣.∣(→，DF1)∣＝（15/16）/Ö17/4×Ö17/4＝15/17。
例5 在正方形ABCD_A'B'C'D'中E，F分别是BD'的中点，求证：EF⊥DA'。
解：不妨设正方形的棱长为1；以D为原点O建立空间直角坐标系0XYZ
E（1，1，1/2），F（1/2，1/2，1）(→，EF)=（-1/2，-1/2，1/2）
A'（1，0，1），D（0，0，0） (→，DA')=（1，0，1）
(→，EF).(→，DA')=（-1/2）×1+（-1/2）×0+1/2×1=0
所以EF⊥DA'。
课堂小结
1.基本知识：
（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；
dA1B＝√（x2－ｘ1）2+（ｙ2-ｙ1）2+（ｚ2-ｚ1）2
（2）两个向量的夹公式。
cos＜<(→，a),(→，ｂ)>=(→，a).(→，ｂ)/∣(→，a∣)∣.∣(→，ｂ)∣=（a1b1+a2b2+a3b3）/(√a12+a22+a32).(√b12+b22+b32)；
2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量直角坐标系运算法则进行计算或证明。