课程内容

《生活中的优化问题举例》
一、复习：如何用导数来求函数的最值？
一般地，若函数y=f（x）在[a，b]上的图象是一条龙连续不断的曲线，则求f（x）的最值步骤是：
（1）求y=f（x）[a，b]内的极值（极大值与极小值）；
（2）将函数的积极值与端点处的函数值f（a）、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小一个为最小值。
特别地，一般如果函数在给定开区间内只有一个极值点，则这个极值一定是最值。
二、引入新课
什么是优化问题
生活经常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。
导数是求最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数解决一些生活中的优化问题。
三、应用
问题情景一；海报版面尺寸的设计
【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm²，上、下两边各空2dm，左、右两边各1dm。
例1、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如图设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽128/x dm，此时四周空白面积为
S（x）=（x+4）（128/x+2）-128
      =2x+512/x+8（x>0）
∵S'（x）=2-512/x ²
S（x）=2x+512/x+8，S'（x）=2-512/x ²
∴令S'（x）=0可解得x=16（x=-16舍去）
列表讨论如下

∵S（x）在（0，+∞）上只有一个极值点
∴由上表可知，当x=16，即池版心高为16dm，宽为8dm时，S（x）最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周的空白面积最小。
问题情景二：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
【背景材料】下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如表所示，则
（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？

例2、某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr²分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知在不考虑瓶子的成本的前提下，每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6Cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？
解：∵每个瓶的容积为：4/3πr³（ml）
每瓶饮料的利润为y，则y=f(r)=0.2×4/3πr³-0.8πr²
                      =0.8πr（r³/3-r²）（0 令f'（r）=0.8π（r²-2r）=0，得r=2

∵f(r）在（0，6）上只有一个极值点
∴由上表可知，当r=2时，利润最小，且当rà0时f（r）à0 而当r∈（2，6）时，f（r）90.432
四、小结：
1.在日常生活中，我们经常会遇到求利润最大，用料最省，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。
2.解决这些优化问题的基本思路如以下流程图所示：
  优化问题à用函数表示的数学问题
     â            â
 优化问题的答案ß用导数解决数学问题
2.解决优化问题的实质是将实际问题化归为函数的最值问题处理，其探究过程是一个典型的数学建模过程，对目标函数的最值，要根据函数式的特点，用适当的方法求解，有时用基本不等式或二次函数图象求最值比用导数更方便。
3.对优化问题中的函数交关系，要注意根据实际背景确定函数的定义域，如果目标函数在定义域内只有一个极值点，则这个极值点一般就是最值点。
五、练习
（1）一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10km时，燃料费是每小时6元，其它与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使每行驶1km的总费用最小？
（2）用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的高为多时，其容积最大？最大容积为多少？