课程内容

《充分条件与必要条件》
一、复习引入
1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。
2、四种命题及相互关系：

注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
3、例：判断下列命题的真假。
（1）若x﹥a²+b²，则x﹥2ab。
（2）若ab=0，则a=0。
解：（1）因为若x﹥a²+b²，而a²+b²≥2ab，所以可以得到x﹥2ab。（真命题）
（2）因为若ab=0则应该有a=0或b=0。所以立项不能得到a一定为0。（假命题）
4、例，将（1）改写成“若p，则q”的形式并判断下列命题的真假及其逆命题的真假。
（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（2）若a²﹥b²，则a﹥b。
解：（1）原命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。（真命题）
逆命题：若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形有两个角相等。（真命题）
（2）原命题：若a²﹥b²，则a﹥b。（假命题）
     逆命题：若a﹥b，则a²﹥b²。（假命题）
（1）若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。
（2）若a²﹥b²，则a﹥b。
5、在原命题中研究条件对结论的制约程度
在真命题（1）中，p足以导致q，也就是说条件p充分了。
在假命题（2）中条件p不充分。
（6）在逆命题中研究结论对条件的依赖程度
在真命题（1）中，p是q成立必须具备的前提。
在假命题（2）中，p不是q成立必须具备的前提。
二、新课
1、如果命题“若p则q”为真，则记作p=>q（或q<=p）。
2、如果命题“若p则q”为假，则记作p≠>q。
练习1，用符号=>与≠>填空。
（1）x²=y² ≠> x=y；
（2）内错角相等 => 丙直线平行；
（3）整数a能被6整除 => a的个位数字为偶数；
（4）ac=bc ≠> a=b。
1、定义1：如果已知p=>q，则说p是q的充分条件。
   定义2：如果已知q=>p，则说p是q的必要条件。
   定义3：如果既有p=>q，又有q=>p，就记作p<=>q，则说p是q的充要条件。
2、从集合角度融解：
①p=>q，相当于p⊆Q，即p、Q或p、Q--有它就行。
②q=>p,相当于Q⊆p，即Q、p或p、Q--缺它不行。
③p<=>q，相当于p=Q，即p、Q。
3、简化定义：如果已知p=>q，则说p是q的充分条件，q是q的必要条件。
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若x=1，则x2-4x+3=0；
（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；
（3）若x为无理数，则x²为无理数。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件。
如何正确理解充分条件与必要条件
1、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成立的充分条件。
2、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不成立，但当q成立时，未必有p成立，因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要条件。
练习2 下列“若p，则q”琖的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若两个三角形全等，则这两个三角形相似；
（2）若x﹥5，则x﹥10。
解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题，所以命题（1）中的p是q的充分条件。
判别充分条件与必要条件
4、判别步骤
①认清条件和结合。②考察p=>q和q=>p的真假。
5、判别技巧；
①可先简化命题。
②否定一个命题只要举出一个反例即可。
③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
例2下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件？
（1）若x=y，则x²=y²。
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的两种相等。
（3）若a﹥b,则ac﹥bc。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
练习3下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的必要条件？
（1）若a+5是无理数，则a是无理数。
（2）若（x-a）（x-b）=0，则x=a.
分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。
解：命题（1）（2）是逆命题都是真命题，所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。
练习4，判断下列命题的真假；
（1）x=2是x2-4x+4=0的必要条件；
（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件。
（3）sin A=sin B是A=B的充分条件；
（4）ab≠0是a≠0的充分条件。
答：命题（1）为真命题；
    命题（2）为真命题；
    命题（3）为假命题；
    命题（4）为假命题。
三、小结
1、定义：如果已知p=>q，则说p是q的充分条件，p是q的必要条件。
2、判别步骤：
①认清条件和结合。②考察p=>q和q=>p的真假。
3、判别技巧：
①可先简化命题。
②否定一个命题只要举出一个反例即可。
③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。