课程内容

《幂函数》
问题引入：我们先看几个具体问题：
（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=______元。
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=______。
（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V=______。
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a=______。
（5）如果人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度V=______km/s。
若将它们的自变量全部用x来表示，函数值用y来表述，则它们的函数关系式将是什么，分别写出来。
定义：一般地，函数y=x^a叫做幂函数，其中x是自变量，a是常量。
几点说明：
1、对于幂函数，我们只讨论a=1,2,3,1/2,-1时的情形。
2、幂函数不像指数函数和对数函数，其定义域随a的不同而不同。
幂函数与指数函数的对比
式子              a      x      y
指数函数：y=a^x  底数   指数   幂值
 幂函数：y=x^a   指数   底数   幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点：
    看看未知数x是指数还是底数。
例1：判断下列函数是否为幂函数。
（1）y=x⁴       （4）y=x^1/2
（2）y=1/x²     （5）y=2x²
（3）y=-x²      （6）y=x³+2
1、幂函数的解析式必须是y=xk的形式，其特征可归纳为“两个1”：系数为1，只有1项。
2、定义域与k的值有关系。
作出下列函数的图象：
y=x²   y=x³   y=x   y=x^1/2
从图象能得出他们的性质吗？
几个幂函数的性质：
        定义域   值域  奇偶性   单调性      公共点
 y=x      R       R    奇函数   增函数  （0,0）（1,1）
y=x²      R     y≥0   偶函数           （0,0）（1,1）
y=x³      R       R    奇函数   增函数  （0,0）（1,1）
y=x^1/2   x≥0   y≥0   非奇非偶  增函数  （0,0）（1,1）
 y=x^-1   x≠0   y≠0   奇函数               （1,1）
幂函数的性质：
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中k的不同而各异。
1、所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过（1,1）；
2、如果k＞0，则幂函数的图象过点（0,0）（1,1），并在（0，+∞）上为增函数；
3、如果k＜0，则幂函数的图象过点（1,1），并在（0，+∞）上为减函数。
练习
1、求下列幂函数的定义域：
（1）y=x^2/5         （2）y=x
（3）y=x^3/4         （4）y=x²
2、已知幂函数y=f（x）的图象过点（2,√2），试求出这个函数的解析式。
3、如果函数f（x）=（m²-m-1）x^m2-2m-3是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。
例2：证明幂函数f（x）=√x在（0，+∞）上是增函数。
思考：已知幂函数y=f（x）的图象过点（2,√2/2），试求出此函数的解析式，并判断奇偶性、单调性。
例3：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.2^0.8与5.3^0.8
（2）0.2^0.3与0.3^0.3
（3）2.5^-2/5与2.7^-2/5
（4）（-√2/2）^2/3、（-10/7）^2/3、1.1^4/3
练习
（1）1.3^0.5_____1.5^0.5
（2）5.1^-2_____5.09^-2
（3）-1.79^1/4_____-1.81^1/4
（4）（2+a2）^-2/3_____2^-2/3