课程内容

《几类不同增长函数的模型》
例1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
问题：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
分析：先建立三种方案所对应的函数模型，方案一：y=40，y=10x，y=0.4×2^（x-1）。通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：

结论：投资8天以下，应选择第一种投资方案；投资8-10天，应选择第二种投资方案；投资11天，应选择第三种投资方案。
例2：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案；在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
y=0.25x，y=log₇x+1，y=1.002^x，其中哪个模型能符合公司的要求？
函数图象：

从以上两个例子，我们看到对数函数，指数函数和幂函数在第一区间的增长是有差异的。
例3：探究函数y=2^x，y=x²，y=log₂x的增长情况并分析差异。
结论1：
一般地，对于指数函数y=a^x（a>1）和幂函数y=xⁿ（n>0），通过探索可以发现：在区间（0，+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，a^x会小xⁿ，但由于a^x的增长快于xⁿ的增长，因此总存在一个x₀，当x>x₀时，就会有a^x>xⁿ。
结论2：
一般地，对于对数函数y=log_ax（a>1）和幂函数y=xⁿ（n>0），通过探索可以发现：在区间（0，+∞）上，随着x的增大，log_ax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内，log_ax可能会大xⁿ，但由于log_ax的增长慢于xⁿ的增长，因此总存在一个x₀，当x>x₀时，就会有log_axn。
综上所述：
（1）在区间（0，+∞）上，y=a^x（a>1），y=log_ax（a>1）和y=xⁿ（n>0）都是增函数。
（2）随着x的增大，y=a^x（a>1）的增长速度越来越快，会远远大于y=xⁿ（n>0）的增长速度。
（3）随着x的增大，y=log_ax（a>1）的增长速度越来越慢，会远远小于y=xⁿ（n>0）的增长速度。